Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla de sobre a região , que é um triângulo com vértices em , e . Isso faz parte da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente de integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como descrever a área do triângulo e depois integrar a função sobre essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o triângulo com os vértices , e . Para facilitar, vamos desenhar as linhas que conectam esses pontos:
De a : essa é a reta .
De a : para encontrar essa reta, calculamos o coeficiente angular. A mudança em é e em é , então a equação é .
De a : essa é a reta , que é o eixo .
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de integração para e . Observando o triângulo:
varia de 0 a 2.
Para cada , varia desde a linha de baixo até a linha de cima, que muda dependendo de :
De a , a linha de cima é .
De a , a linha de cima é .
Passo 4
Vamos dividir a integral em duas partes, uma de a e outra de a :
Passo 5
Vamos calcular a primeira parte da integral:
Dentro dos parênteses, é constante em relação a . Então, a integral interna é:
Agora, integramos isso em relação a :
Passo 6
Agora, vamos calcular a segunda parte da integral:
integral1^2 ( integral0^-x + 2 x , dy ) dx
Novamente, integral0^-x + 2 x , dy = x cdot y |0^-x + 2 = x(-x + 2) - x cdot 0 = -x^2 + 2x é constante em relação a integral1^2 (-x^2 + 2x) , dx = ( -x^33 + x^2 ) |1^2 . A integral interna é:
-83 + 4 = -83 + 123 = 43
Agora, integramos isso em relação a -13 + 1 = 23 :