Calcule integral duplaB f(x, y) d x d y, sendo dados:
© f(x, y)=x e B o triângulo de vértices (0,0),(1,1) e (2,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla de sobre a região , que é um triângulo com vértices em , e . Isso faz parte da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente de integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como descrever a área do triângulo e depois integrar a função sobre essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o triângulo com os vértices , e . Para facilitar, vamos desenhar as linhas que conectam esses pontos:
  • De a : essa é a reta .
  • De a : para encontrar essa reta, calculamos o coeficiente angular. A mudança em é e em é , então a equação é .
  • De a : essa é a reta , que é o eixo .

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de integração para e . Observando o triângulo:
  • varia de 0 a 2.
  • Para cada , varia desde a linha de baixo até a linha de cima, que muda dependendo de :
    • De a , a linha de cima é .
    • De a , a linha de cima é .

Passo 4

Vamos dividir a integral em duas partes, uma de integral duplaB x , dx , dy = integral0^1 ( integral0^x x , dy ) dx + integral1^2 ( integral0^-x + 2 x , dy ) dx a e outra de a :

Passo 5

Vamos calcular a primeira parte da integral:
integral0^1 ( integral0^x x , dy ) dx
Dentro dos parênteses, integral0^x x , dy = x cdot y |0^x = x cdot x - x cdot 0 = x^2 é constante em relação a integral0^1 x^2 , dx = x^33 |0^1 = 13 - 0 = 13 . Então, a integral interna é:
Agora, integramos isso em relação a :

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda parte da integral:
integral1^2 ( integral0^-x + 2 x , dy ) dx
Novamente, integral0^-x + 2 x , dy = x cdot y |0^-x + 2 = x(-x + 2) - x cdot 0 = -x^2 + 2x é constante em relação a integral1^2 (-x^2 + 2x) , dx = ( -x^33 + x^2 ) |1^2 . A integral interna é:
-83 + 4 = -83 + 123 = 43
Agora, integramos isso em relação a -13 + 1 = 23 :
43 - 23 = 23
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

Somando as duas partes da integral:
13 + 23 = 1
Portanto, o valor da integral dupla é 1.

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