Determine os pontos singulares de cada uma das seguintes funções e diga por que a função é analítica em todos os pontos, exceto nesses pontos:
(b) (z^3 + i) / (z^2 - 3z + 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar os pontos singulares da função . Além disso, vamos explicar por que essa função é analítica em todos os pontos, exceto nos pontos singulares que encontrarmos. Para isso, vamos usar conceitos de funções complexas e analisar onde o denominador da fração se anula, já que isso causa problemas na analiticidade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos singulares. Em funções racionais como essa, os pontos singulares acontecem onde o denominador é igual a zero, porque aí a função não está bem definida. Então, vamos resolver a equação:

Passo 3

Para resolver essa equação quadrática, vamos fatorar o denominador. Procuramos dois números que multiplicados dão 2 e somados dão -3. Esses números são -1 e -2. Então, a fatoração fica:

Passo 4

Agora que fatoramos, sabemos que o denominador se anula quando ou . Resolvendo essas equações, encontramos os pontos singulares:

Passo 5

Então, os pontos singulares da função são e . Em todo outro ponto onde não seja 1 ou 2, o denominador não se anula, e a função está bem definida.

Passo 6

A função é analítica em todos os pontos exceto nos pontos singulares porque, nesses pontos, a função é uma função racional onde o numerador e o denominador são polinômios. Funções racionais são analíticas onde o denominador não é zero. Como identificamos que o denominador só é zero em e , a função é analítica em todo lugar menos nesses pontos.

Resposta

Os pontos singulares da função são e . A função é analítica em todos os pontos do plano complexo, exceto nesses dois pontos.

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