Determine os pontos singulares de cada uma das seguintes funções e diga por que a função é analítica em todos os pontos, exceto nesses pontos:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar os pontos singulares da função
. Além disso, vamos explicar por que essa função é analítica em todos os pontos, exceto nos pontos singulares que encontrarmos. Para isso, vamos usar conceitos de funções complexas e analisar onde o denominador da fração se anula, já que isso causa problemas na analiticidade.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos singulares. Em funções racionais como essa, os pontos singulares acontecem onde o denominador é igual a zero, porque aí a função não está bem definida. Então, vamos resolver a equação:
Passo 3
Para resolver essa equação quadrática, vamos fatorar o denominador. Procuramos dois números que multiplicados dão 2 e somados dão -3. Esses números são -1 e -2. Então, a fatoração fica:
Passo 4
Agora que fatoramos, sabemos que o denominador se anula quando
ou
. Resolvendo essas equações, encontramos os pontos singulares:
Passo 5
Então, os pontos singulares da função
são
e
. Em todo outro ponto onde
não seja 1 ou 2, o denominador não se anula, e a função está bem definida.
Passo 6
A função é analítica em todos os pontos exceto nos pontos singulares porque, nesses pontos, a função é uma função racional onde o numerador e o denominador são polinômios. Funções racionais são analíticas onde o denominador não é zero. Como identificamos que o denominador só é zero em
e
, a função é analítica em todo lugar menos nesses pontos.
Resposta
Os pontos singulares da função
são
e
. A função é analítica em todos os pontos do plano complexo, exceto nesses dois pontos.