Calcule as integrais abaixo.
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Passo 1
Então, temos que calcular a integral definida de no intervalo de
a
. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente técnicas de substituição, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, observamos que a integral envolve potências ímpares de
e . Quando uma das funções trigonométricas está com expoente ímpar, é útil fazer uma substituição. Aqui, como
está com expoente ímpar (3), vamos utilizar:
Passo 3
Agora, derivamos
em relação a
:
Passo 4
Reescrevemos a integral original em termos de
:
Passo 5
Expandimos e simplificamos a expressão dentro da integral:
Passo 6
Substituímos de volta na expressão:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Calculando nos limites:
- Para
: - Para
:
Substituindo:
Resposta
A integral é igual a
.