Calcule as integrais abaixo.
® integral-pi / 4^0 cos ^3(2 x) sen^9(2 x) d x

Passo 1

Então, temos que calcular a integral definida de no intervalo de a . Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente técnicas de substituição, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, observamos que a integral envolve potências ímpares de u = sen(2x) e . Quando uma das funções trigonométricas está com expoente ímpar, é útil fazer uma substituição. Aqui, como está com expoente ímpar (3), vamos utilizar:

Passo 3

Agora, derivamos du = 2cos(2x)dx em relação a Rightarrow cos(2x)dx = 12du :

Passo 4

Reescrevemos a integral original em termos de integral cos^3(2x) sen^9(2x)dx = integral cos^2(2x) cdot cos(2x)sen^9(2x)dx :
= integral (1 - sen^2(2x)) sen^9(2x) cdot 12du

Passo 5

Expandimos e simplificamos a expressão dentro da integral:
12 integral (u^9 - u^11)du
= 12 ( u^1010 - u^1212 ) + C
= u^1020 - u^1224 + C

Passo 6

Substituímos de volta na expressão:

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de [ sen^10(2x)20 - sen^12(2x)24 ]-pi4^0 a sen(0) = 0 :
Calculando nos limites:
  • Para 2x = -pi2 :
  • Para sen(-pi2) = -1 : ( 0^1020 - 0^1224 ) - ( (-1)^1020 - (-1)^1224 )
Substituindo:
= 0 - ( 120 - 124 )
= -( 6120 - 5120 )
= -( 1120 )
= -1120

Resposta

A integral é igual a .

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