(1 ponto)
Passo 1
Vamos resolver a integral definida
. Esse exercício envolve cálculo de integrais impróprias, que aparecem quando os limites de integração incluem infinito ou quando a função possui descontinuidades. Para resolver, vamos usar o método de frações parciais, que ajuda a simplificar a expressão para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Sabemos que
é uma diferença de quadrados, então:
Passo 3
Agora, vamos expressar
como a soma de frações mais simples. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Para encontrar os valores de
e
, escolhemos valores de
que simplificam a equação.
- Quando
:
- Quando
:
Passo 5
Substituindo os valores de
e
na expressão original:
Agora, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral definida fica:
Passo 7
Agora, avaliamos os limites. Primeiro, para
e depois tomamos o limite quando
:
Sabemos que
, então simplificando:
Passo 8
Analisando o limite:
À medida que
,
. Portanto, a integral tende ao infinito.
Resposta
A integral
diverge para infinito.