(1 ponto) integral2^infty x+2x^2-1 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida . Esse exercício envolve cálculo de integrais impróprias, que aparecem quando os limites de integração incluem infinito ou quando a função possui descontinuidades. Para resolver, vamos usar o método de frações parciais, que ajuda a simplificar a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) . Sabemos que é uma diferença de quadrados, então:

Passo 3

Agora, vamos expressar x + 2x^2 - 1 = Ax - 1 + Bx + 1 como a soma de frações mais simples. Assumimos que:
x + 2 = A(x + 1) + B(x - 1)
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Para encontrar os valores de 1 + 2 = A(2) + B(0) Rightarrow 3 = 2A Rightarrow A = 32 e -1 + 2 = A(0) + B(-2) Rightarrow 1 = -2B Rightarrow B = -12 , escolhemos valores de que simplificam a equação.
  • Quando :
  • Quando :

Passo 5

Substituindo os valores de x + 2x^2 - 1 = 32x - 1 - 12x + 1 e integral2^infty ( 32x - 1 - 12x + 1 ) dx na expressão original:
Agora, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
integral 32x - 1 , dx = 32 ln|x - 1| + C
integral 12x + 1 , dx = 12 ln|x + 1| + C
Então, a integral definida fica:
[ 32 ln|x - 1| - 12 ln|x + 1| ]2^infty

Passo 7

Agora, avaliamos os limites. Primeiro, para limb to infty ( 32 ln(b - 1) - 12 ln(b + 1) ) - ( 32 ln(1) - 12 ln(3) ) e depois tomamos o limite quando limb to infty ( 32 ln(b - 1) - 12 ln(b + 1) ) + 12 ln(3) :
Sabemos que , então simplificando:

Passo 8

Analisando o limite:
32 ln(b - 1) - 12 ln(b + 1) = 32 ln b - 12 ln b + termos constantes = ln b + constante
À medida que , . Portanto, a integral tende ao infinito.

Resposta

A integral diverge para infinito.

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