Calcule as integrais abaixo usando, antes da integração por partes, uma substituição apropriada.

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular a integral . Esse exercício envolve cálculo de integrais, principalmente usando substituição antes de aplicar a integração por partes. Vamos precisar usar a técnica de substituição (também conhecida como “mudança de variável”) e depois a integração por partes para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Olha só, temos e . Se a gente escolher , então , ou seja, .
Mas a nossa integral tem , então vamos reescrever como . Assim, a integral fica:

Passo 3

Com a substituição , já sabemos que , ou seja, . Vamos substituir na integral:
Mas precisamos expressar em termos de . Como , então . Substituindo:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral usando integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher:
  • (simplesmente )
Então, calculamos:

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Voltando à nossa integral original:

Passo 6

Lembrando que fizemos a substituição , vamos substituir de volta:

Resposta

A integral é igual a:

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Use integração por partes para calcular as integrais abaixo, durante a integração em alguns itens você vai precisar usar o método de integração por substituição.
Use integração por partes para calcular as integrais definidas abaixo.
Use integração por partes para calcular as integrais abaixo.
Use integração por partes para calcular as integrais abaixo.