Calcule as integrais abaixo usando, antes da integração por partes, uma substituição apropriada.
integral x^3 e^x^2 d x

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular a integral . Esse exercício envolve cálculo de integrais, principalmente usando substituição antes de aplicar a integração por partes. Vamos precisar usar a técnica de substituição (também conhecida como “mudança de variável”) e depois a integração por partes para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Olha só, temos integral x^2 cdot x cdot e^x^2 , dx e . Se a gente escolher , então , ou seja, .
Mas a nossa integral tem , então vamos reescrever como . Assim, a integral fica:

Passo 3

Com a substituição integral x^2 cdot e^x^2 cdot x , dx = integral x^2 cdot e^u cdot du2 = 12 integral x^2 e^u , du , já sabemos que 12 integral u e^u , du , ou seja, . Vamos substituir na integral:
Mas precisamos expressar em termos de . Como , então . Substituindo:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral integral u , dv = uv - integral v , du usando integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher:
  • (simplesmente )
Então, calculamos:

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral u e^u , du = u e^u - integral e^u , du = u e^u - e^u + C = e^u (u - 1) + C
Voltando à nossa integral original:
12 integral u e^u , du = 12 ( e^u (u - 1) ) + C = e^u (u - 1)2 + C

Passo 6

Lembrando que fizemos a substituição e^x^2 (x^2 - 1)2 + C , vamos substituir de volta:

Resposta

A integral e^x^2 (x^2 - 1)2 + C é igual a:

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