Calcule as integrais abaixo usando, antes da integração por partes, uma substituição apropriada.
Passo 1
Beleza! A gente vai calcular a integral
. Esse exercício envolve cálculo de integrais, principalmente usando substituição antes de aplicar a integração por partes. Vamos precisar usar a técnica de substituição (também conhecida como “mudança de variável”) e depois a integração por partes para resolver essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Olha só, temos
e
. Se a gente escolher
, então
, ou seja,
.
Mas a nossa integral tem
, então vamos reescrever
como
. Assim, a integral fica:
Passo 3
Com a substituição
, já sabemos que
, ou seja,
. Vamos substituir na integral:
Mas precisamos expressar
em termos de
. Como
, então
. Substituindo:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral
usando integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher:
-
(simplesmente ) -
Então, calculamos:
Passo 5
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Voltando à nossa integral original:
Passo 6
Lembrando que fizemos a substituição
, vamos substituir de volta:
Resposta
A integral
é igual a: