Use integração por partes para calcular as integrais abaixo, durante a integração em alguns itens você vai precisar usar o método de integração por substituição.
integral x^2 ln (2 x) d x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de em relação a . Vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica pra resolver integrais de produtos de funções. Além disso, em alguns passos, vamos precisar fazer uma substituição para facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes que vamos usar na fórmula de integração por partes: . Aqui, vamos escolher e .

Passo 3

Agora, precisamos calcular du = ddx ln(2x) , dx = 22x , dx = 1x , dx e v = integral x^2 dx = x^33 :
  • Derivando , temos:
  • Integrando , temos:

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x^2 ln(2x) , dx = uv - integral v , du = ln(2x) cdot x^33 - integral x^33 cdot 1x , dx
Simplificando a última integral:
integral x^33 cdot 1x , dx = integral x^23 , dx = 13 integral x^2 dx

Passo 5

Calculando a integral simplificada:
13 integral x^2 dx = 13 cdot x^33 = x^39

Passo 6

Voltando à expressão anterior:
integral x^2 ln(2x) , dx = x^33 ln(2x) - x^39 + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral de integral x^2 ln(2x) , dx = x^33 ln(2x) - x^39 + C em relação a é:

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