Use integração por partes para calcular as integrais abaixo.
integral(3-x) ln (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral(3 - x) ln(x) , dx usando o método de integração por partes. Esse método é super útil quando temos produtos de funções, como aqui temos (3 - x) e ln(x). Vamos precisar saber como aplicar a fórmula de integração por partes, que é:
integral u , dv = uv - integral v , du

Passo 2

Primeiro, vamos escolher qual parte da nossa integral vai ser u e qual vai ser dv. Geralmente, escolhemos u como a função que fica mais simples quando derivada. Nesse caso, vamos deixar:
u = ln(x) e dv = (3 - x) , dx

Passo 3

Agora, precisamos determinar du e v. Vamos derivar u e integrar dv:
du = 1x , dx
Para encontrar v, integramos dv:
v = integral (3 - x) , dx = 3x - x^22

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral (3 - x) ln(x) , dx = ln(x) (3x - x^22) - integral (3x - x^22) cdot 1x , dx

Passo 5

Vamos simplificar a segunda integral:
integral (3x - x^22) cdot 1x , dx = integral (3 - x2) , dx
Essa integral é fácil de resolver:
integral (3 - x2) , dx = 3x - x^24 + C

Passo 6

Colocando tudo junto, temos:
integral (3 - x) ln(x) , dx = ln(x) (3x - x^22) - (3x - x^24) + C

Resposta

A integral é:
integral (3 - x) ln(x) , dx = ln(x) (3x - x^22) - 3x + x^24 + C

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