Use integração por partes para calcular as integrais definidas abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida:
A matéria que vamos precisar aqui é de Cálculo, especificamente integração por partes. Esse método é útil quando a integral é o produto de duas funções, como é o caso aqui com
e
. Vamos precisar identificar quais funções serão
e
na fórmula de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral original vai ser
e qual vai ser
. Geralmente, escolhemos
como a parte que se simplifica quando derivamos, e
como a parte que é fácil de integrar.
Então, vamos fazer:
Passo 3
Substituindo na fórmula de integração por partes:
Agora, temos uma nova integral para resolver:
.
Passo 4
Vamos calcular essa nova integral:
Onde
é a constante de integração. Mas como estamos lidando com uma integral definida, vamos manter isso para substituição nos limites.
Passo 5
Agora, substituindo de volta na expressão anterior:
Como estamos calculando uma integral definida de 0 a
, o
não é necessário.
Passo 6
Vamos aplicar os limites de integração de 0 a
:
Primeiro, calculamos para
:
Sabemos que
, então:
Agora, para
:
Passo 7
Subtraindo os valores calculados:
Podemos fatorar
:
Resposta
Portanto, o valor da integral definida é:
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Use integração por partes para calcular as integrais abaixo, durante a integração em alguns itens você vai precisar usar o método de integração por substituição.
Use integração por partes para calcular as integrais definidas abaixo.
Use integração por partes para calcular as integrais abaixo, durante a integração em alguns itens você vai precisar usar o método de integração por substituição.
Calcule as integrais abaixo usando, antes da integração por partes, uma substituição apropriada.