Use integração por partes para calcular as integrais definidas abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida:
A matéria que vamos precisar aqui é de Cálculo, especificamente integração por partes. Esse método é útil quando a integral é o produto de duas funções, como é o caso aqui com e . Vamos precisar identificar quais funções serão e na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral original vai ser e qual vai ser . Geralmente, escolhemos como a parte que se simplifica quando derivamos, e como a parte que é fácil de integrar.
Então, vamos fazer:

Passo 3

Substituindo na fórmula de integração por partes:
Agora, temos uma nova integral para resolver: .

Passo 4

Vamos calcular essa nova integral:
Onde é a constante de integração. Mas como estamos lidando com uma integral definida, vamos manter isso para substituição nos limites.

Passo 5

Agora, substituindo de volta na expressão anterior:
Como estamos calculando uma integral definida de 0 a , o não é necessário.

Passo 6

Vamos aplicar os limites de integração de 0 a :
Primeiro, calculamos para :
Sabemos que , então:
Agora, para :

Passo 7

Subtraindo os valores calculados:
Podemos fatorar :

Resposta

Portanto, o valor da integral definida é:

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Use integração por partes para calcular as integrais abaixo, durante a integração em alguns itens você vai precisar usar o método de integração por substituição.
Use integração por partes para calcular as integrais definidas abaixo.
Use integração por partes para calcular as integrais abaixo, durante a integração em alguns itens você vai precisar usar o método de integração por substituição.
Calcule as integrais abaixo usando, antes da integração por partes, uma substituição apropriada.