Use integração por partes para calcular as integrais definidas abaixo.
integral0^pi / 4 x cos (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida:
integral0^pi / 4 x cos (x) , dx
A matéria que vamos precisar aqui é de Cálculo, especificamente integração por partes. Esse método é útil quando a integral é o produto de duas funções, como é o caso aqui com e . Vamos precisar identificar quais funções serão e na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral original vai ser u = x Rightarrow du = dx e qual vai ser dv = cos(x) , dx Rightarrow v = integral cos(x) , dx = sin(x) . Geralmente, escolhemos como a parte que se simplifica quando derivamos, e como a parte que é fácil de integrar.
Então, vamos fazer:

Passo 3

Substituindo na fórmula de integração por partes:
integral x cos(x) , dx = x sin(x) - integral sin(x) , dx
Agora, temos uma nova integral para resolver: .

Passo 4

Vamos calcular essa nova integral:
integral sin(x) , dx = -cos(x) + C
Onde é a constante de integração. Mas como estamos lidando com uma integral definida, vamos manter isso para substituição nos limites.

Passo 5

Agora, substituindo de volta na expressão anterior:
integral x cos(x) , dx = x sin(x) - (-cos(x)) + C = x sin(x) + cos(x) + C
Como estamos calculando uma integral definida de 0 a , o não é necessário.

Passo 6

Vamos aplicar os limites de integração de 0 a [ x sin(x) + cos(x) ]0^pi/4 :
( pi4 ) sin( pi4 ) + cos( pi4 )
Primeiro, calculamos para ( pi4 ) ( raiz22 ) + raiz22 = pi raiz28 + raiz22 :
0 cdot sin(0) + cos(0) = 0 + 1 = 1
Sabemos que , então:
Agora, para :

Passo 7

Subtraindo os valores calculados:
( pi raiz28 + raiz22 ) - 1
Podemos fatorar raiz22 ( pi4 + 1 ) - 1 :

Resposta

Portanto, o valor da integral definida é:
raiz22 ( pi4 + 1 ) - 1

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