Use integração por partes para calcular as integrais abaixo, durante a integração em alguns itens você vai precisar usar o método de integração por substituição.
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é a integral de
em relação a
. Vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica que ajuda a integrar produtos de funções. Para isso, precisamos identificar duas partes na nossa função: uma que vamos derivar e outra que vamos integrar. Além disso, vamos precisar lembrar que
pode ser simplificado usando propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a propriedade dos logaritmos que diz
. Aplicando isso na nossa integral:
Então, a integral fica:
Como
é uma constante, a primeira integral é fácil de resolver.
Passo 3
Vamos resolver cada parte separadamente:
- Integral de
:
- Integral de
usando integração por partes:
Aqui é onde aplicamos a técnica de integração por partes. A fórmula é:
Vamos escolher:
-
(que ao derivar teremos algo mais simples) -
(que ao integrar fica fácil)
Então, calculamos
e
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
A integral restante é simples:
Então, substituindo de volta:
Passo 5
Agora, juntando tudo:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
Exercícios relacionados
Use integração por partes para calcular as integrais abaixo.
Seja
e
a curva de interseç̧ão do plano
com o cilindro
, orientada no sentido anti-horário.
O valor da integral de caminho fechado sobre a curva C, é
a)
b)
c)
d)
O valor da integral de caminho fechado sobre a curva C, é
a)
b)
c)
d)
Calcule as integrais abaixo usando, antes da integração por partes, uma substituição apropriada.
Use integração por partes duas vezes para calcule a seguinte integral definida