Use integração por partes para calcular as integrais abaixo, durante a integração em alguns itens você vai precisar usar o método de integração por substituição.
integral ln (5 x) d x

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é a integral de ln(5x) em relação a x. Vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica que ajuda a integrar produtos de funções. Para isso, precisamos identificar duas partes na nossa função: uma que vamos derivar e outra que vamos integrar. Além disso, vamos precisar lembrar que ln(5x) pode ser simplificado usando propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a propriedade dos logaritmos que diz ln(ab) = ln a + ln b. Aplicando isso na nossa integral:
ln(5x) = ln 5 + ln x
Então, a integral fica:
integral ln(5x) , dx = integral (ln 5 + ln x) , dx = integral ln 5 , dx + integral ln x , dx
Como ln 5 é uma constante, a primeira integral é fácil de resolver.

Passo 3

Vamos resolver cada parte separadamente:
  1. Integral de ln 5 , dx:
integral ln 5 , dx = ln 5 cdot x + C1
  1. Integral de ln x , dx usando integração por partes:
Aqui é onde aplicamos a técnica de integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • u = ln x (que ao derivar teremos algo mais simples)
  • dv = dx (que ao integrar fica fácil)
Então, calculamos du e v:
du = 1x , dx
v = integral dx = x

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral ln x , dx = uv - integral v , du = x ln x - integral x cdot 1x , dx = x ln x - integral 1 , dx
A integral restante é simples:
integral 1 , dx = x + C2
Então, substituindo de volta:
integral ln x , dx = x ln x - x + C2

Passo 5

Agora, juntando tudo:
integral ln(5x) , dx = ln 5 cdot x + (x ln x - x) + C
Onde C = C1 + C2 é a constante de integração.

Resposta

integral ln(5x) , dx = x ln(5x) - x + C

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