Use integração por partes para calcular as integrais abaixo, durante a integração em alguns itens você vai precisar usar o método de integração por substituição.

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é a integral de em relação a . Vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica que ajuda a integrar produtos de funções. Para isso, precisamos identificar duas partes na nossa função: uma que vamos derivar e outra que vamos integrar. Além disso, vamos precisar lembrar que pode ser simplificado usando propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a propriedade dos logaritmos que diz . Aplicando isso na nossa integral:
Então, a integral fica:
Como é uma constante, a primeira integral é fácil de resolver.

Passo 3

Vamos resolver cada parte separadamente:
  1. Integral de :
  1. Integral de usando integração por partes:
Aqui é onde aplicamos a técnica de integração por partes. A fórmula é:
Vamos escolher:
  • (que ao derivar teremos algo mais simples)
  • (que ao integrar fica fácil)
Então, calculamos e :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
A integral restante é simples:
Então, substituindo de volta:

Passo 5

Agora, juntando tudo:
Onde é a constante de integração.

Resposta

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Use integração por partes para calcular as integrais abaixo.
Seja e a curva de interseç̧ão do plano com o cilindro , orientada no sentido anti-horário.
O valor da integral de caminho fechado sobre a curva C, é
a)
b)
c)
d)
Calcule as integrais abaixo usando, antes da integração por partes, uma substituição apropriada.
Use integração por partes duas vezes para calcule a seguinte integral definida