Use integração por partes para calcular as integrais abaixo.
integral x^2 ln (2 x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral usando o método de integração por partes. A matéria envolvida aqui é o cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes, que é útil quando a integral é o produto de duas funções. Para resolver, vamos precisar identificar quais partes da integral vão ser e na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, lembramos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Precisamos escolher e de forma que a integral resultante seja mais simples de resolver.

Passo 3

Vamos escolher:
u = ln(2x) e dv = x^2 , dx
Agora, precisamos encontrar e .

Passo 4

Calculando du = ddx [ln(2x)] , dx = 12x cdot 2 , dx = 1x , dx :
v = integral x^2 , dx = x^33
E calculando integrando :

Passo 5

Substituindo integral x^2 ln(2x) , dx = u cdot v - integral v , du , = ln(2x) cdot x^33 - integral x^33 cdot 1x , dx , e na fórmula de integração por partes:

Passo 6

Simplificando a integral restante:
integral x^33 cdot 1x , dx = integral x^23 , dx = 13 integral x^2 , dx = 13 cdot x^33 = x^39

Passo 7

Agora, substituímos de volta na expressão original:
integral x^2 ln(2x) , dx = x^33 ln(2x) - x^39 + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral x^33 ln(2x) - x^39 + C é igual a:

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