Resolva o seguinte problema de valor inicial:

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial que nos deu uma equação diferencial. O objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação e também a condição inicial . Para isso, vamos usar técnicas de integração.

Passo 2

A equação diferencial que precisamos resolver é:
Para encontrar , vamos integrar ambos os lados dessa equação em relação a .
Primeiro, vamos lidar com o termo . Para integrar essa fração, completamos o quadrado no denominador:
Agora, a integral fica:
Sabemos que a integral de em relação a é , onde é a constante de integração. Aqui, , então:
Agora, vamos integrar o segundo termo :
Podemos reescrever como . A integral de é , onde é o logaritmo natural de 3. Portanto:

Passo 3

Juntando as duas integrais, a solução geral da equação diferencial é:
Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar a constante .
Substituindo na equação:
Sabemos que e , então:
Resolvendo para :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

Exercícios relacionados

Calcule as integrais abaixo usando, antes da integração por partes, uma substituição apropriada.
Após identificar a técnica apropriada, determine o valor das integrais abaixo.
Calcule, se existir, o limite.
Calcule, se existir, o limite.