Resolva o seguinte problema de valor inicial:
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial que nos deu uma equação diferencial. O objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação e também a condição inicial
. Para isso, vamos usar técnicas de integração.
Passo 2
A equação diferencial que precisamos resolver é:
Para encontrar
, vamos integrar ambos os lados dessa equação em relação a
.
Primeiro, vamos lidar com o termo
. Para integrar essa fração, completamos o quadrado no denominador:
Agora, a integral fica:
Sabemos que a integral de
em relação a
é
, onde
é a constante de integração. Aqui,
, então:
Agora, vamos integrar o segundo termo
:
Podemos reescrever
como
. A integral de
é
, onde
é o logaritmo natural de 3. Portanto:
Passo 3
Juntando as duas integrais, a solução geral da equação diferencial é:
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar a constante
.
Substituindo
na equação:
Sabemos que
e
, então:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais abaixo usando, antes da integração por partes, uma substituição apropriada.
Após identificar a técnica apropriada, determine o valor das integrais abaixo.
Calcule, se existir, o limite.
Calcule, se existir, o limite.