Calcule as integrais abaixo usando a Regra de Substituição, quando necessário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está ligado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente usando a Regra de Substituição para resolver integrais. Para isso, vamos precisar entender como transformar a integral de uma função complicada em algo mais simples usando uma mudança de variável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função tangente pode ser escrita como . Então, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Regra de Substituição. A ideia aqui é escolher uma parte da integral para ser substituída por uma nova variável, o que simplifica a integração. Vamos deixar .

Passo 4

Com essa substituição, precisamos calcular a derivada de em relação a para substituir o na integral. Então:
Isso significa que .

Passo 5

Substituindo na integral original:

Passo 6

A integral de em relação a é . Então:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Lembrando que fizemos a substituição , vamos voltar para a variável original:

Passo 8

Podemos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Pois .

Resposta

A integral de em relação a é:

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