Calcule as integrais abaixo usando a Regra de Substituição, quando necessário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está ligado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente usando a Regra de Substituição para resolver integrais. Para isso, vamos precisar entender como transformar a integral de uma função complicada em algo mais simples usando uma mudança de variável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função tangente pode ser escrita como
. Então, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Regra de Substituição. A ideia aqui é escolher uma parte da integral para ser substituída por uma nova variável, o que simplifica a integração. Vamos deixar
.
Passo 4
Com essa substituição, precisamos calcular a derivada de
em relação a
para substituir o
na integral. Então:
Isso significa que
.
Passo 5
Substituindo na integral original:
Passo 6
A integral de
em relação a
é
. Então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Lembrando que fizemos a substituição
, vamos voltar para a variável original:
Passo 8
Podemos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Pois
.
Resposta
A integral de
em relação a
é:
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Qual o valor da área, no segundo quadrante, da região delimitada pela curva
, o eixo
e a reta
?
Qual o valor da área, no segundo quadrante, da região delimitada pela curva
, o eixo
e a reta
?
Calcule as integrais abaixo usando a Regra de Substituição, quando necessário.
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