Calcule as integrais abaixo usando a Regra de Substituição, quando necessário.

Passo 1

Vamos resolver a integral usando a Regra de Substituição. A matéria que estamos abordando aqui é cálculo integral, especificamente a técnica de substituição para simplificar integrais mais complicadas. Para isso, vamos escolher uma parte da integral para substituir por uma variável mais simples, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma expressão dentro da integral que pode ser substituída para simplificar a operação. Observamos que pode ser simplificado se fizermos uma substituição. Vamos definir:
Essa substituição nos ajuda a transformar a expressão dentro da raiz em algo mais simples de integrar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir o na integral. Derivando ambos os lados em relação a , temos:
Isso significa que:
Agora, podemos substituir e na integral original em termos de .

Passo 4

Substituindo e na integral, temos:
Aqui, substituímos por porque .

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Isso nos permite integrar cada termo separadamente.

Passo 6

Agora, integramos cada termo individualmente:
Somando as integrais, temos:

Passo 7

Por fim, vamos substituir de volta em termos de para obter a solução final:

Resposta

A integral é igual a:

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