Calcule as integrais abaixo usando a Regra de Substituição, quando necessário.
(d) integral x raizx-1 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral usando a Regra de Substituição. A matéria que estamos abordando aqui é cálculo integral, especificamente a técnica de substituição para simplificar integrais mais complicadas. Para isso, vamos escolher uma parte da integral para substituir por uma variável mais simples, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma expressão dentro da integral que pode ser substituída para simplificar a operação. Observamos que u = x - 1 pode ser simplificado se fizermos uma substituição. Vamos definir:
Essa substituição nos ajuda a transformar a expressão dentro da raiz em algo mais simples de integrar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 1 em relação a du = dx para substituir o na integral. Derivando ambos os lados em relação a , temos:
Isso significa que:
Agora, podemos substituir e na integral original em termos de .

Passo 4

Substituindo integral x raizx-1 , dx = integral (u + 1) raizu , du e na integral, temos:
Aqui, substituímos por porque .

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
integral (u + 1) raizu , du = integral (u cdot u^1/2 + 1 cdot u^1/2) , du = integral u^3/2 + u^1/2 , du
Isso nos permite integrar cada termo separadamente.

Passo 6

Agora, integramos cada termo individualmente:
integral u^3/2 , du = 25 u^5/2 + C
integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C
Somando as integrais, temos:
25 u^5/2 + 23 u^3/2 + C

Passo 7

Por fim, vamos substituir 25 (x - 1)^5/2 + 23 (x - 1)^3/2 + C de volta em termos de para obter a solução final:

Resposta

A integral 25 (x - 1)^5/2 + 23 (x - 1)^3/2 + C é igual a:

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