Calcule as integrais abaixo usando a Regra de Substituição, quando necessário.
Passo 1
Vamos resolver a integral
usando a Regra de Substituição. A matéria que estamos abordando aqui é cálculo integral, especificamente a técnica de substituição para simplificar integrais mais complicadas. Para isso, vamos escolher uma parte da integral para substituir por uma variável mais simples, facilitando a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma expressão dentro da integral que pode ser substituída para simplificar a operação. Observamos que
pode ser simplificado se fizermos uma substituição. Vamos definir:
Essa substituição nos ajuda a transformar a expressão dentro da raiz em algo mais simples de integrar.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir o
na integral. Derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Isso significa que:
Agora, podemos substituir
e
na integral original em termos de
.
Passo 4
Substituindo
e
na integral, temos:
Aqui, substituímos
por
porque
.
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Isso nos permite integrar cada termo separadamente.
Passo 6
Agora, integramos cada termo individualmente:
Somando as integrais, temos:
Passo 7
Por fim, vamos substituir
de volta em termos de
para obter a solução final:
Resposta
A integral
é igual a:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais abaixo usando a Regra de Substituição, quando necessário.
Qual o valor da área, no segundo quadrante, da região delimitada pela curva
, o eixo
e a reta
?
Calcule as integrais abaixo usando a Regra de Substituição, quando necessário.
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