Calcule as integrais abaixo usando a Regra de Substituição, quando necessário.

Passo 1

Beleza, a gente vai calcular a integral usando a Regra de Substituição. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral e identidades trigonométricas. Vamos precisar entender como simplificar a função trigonométrica para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos usar uma identidade trigonométrica que nos ajuda a simplificar . A identidade é:
Essa identidade transforma a função quadrática em termos de uma função de ângulo duplo, o que é mais fácil de integrar.

Passo 3

Substituindo a identidade na integral, temos:
Podemos separar a integral em duas partes:

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de 1 em relação a é simplesmente . Para a segunda parte, usamos a Regra de Substituição:
Então,

Passo 5

Voltando à expressão original:
Isso simplifica para:

Resposta

A integral de é:

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