Calcule as integrais abaixo usando a Regra de Substituição, quando necessário.
(f) integral sen^2(theta) d theta

Passo 1

Beleza, a gente vai calcular a integral usando a Regra de Substituição. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral e identidades trigonométricas. Vamos precisar entender como simplificar a função trigonométrica para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos usar uma identidade trigonométrica que nos ajuda a simplificar . A identidade é:
Essa identidade transforma a função quadrática em termos de uma função de ângulo duplo, o que é mais fácil de integrar.

Passo 3

Substituindo a identidade na integral, temos:
Podemos separar a integral em duas partes:
integral sen^2(theta) , dtheta = integral 1 - cos(2theta)2 , dtheta

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de 1 em relação a u = 2theta implies du = 2 , dtheta implies dtheta = du2 é simplesmente integral cos(2theta) , dtheta = integral cos(u) cdot du2 = 12 sen(u) + C = 12 sen(2theta) + C . Para a segunda parte, usamos a Regra de Substituição:
Então,

Passo 5

Voltando à expressão original:
Isso simplifica para:

Resposta

A integral de é:

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