Calcule as integrais abaixo usando a Regra de Substituição, quando necessário.
(g) integral arcsen(y)2 raiz1-y^2 d y

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular a integral usando a Regra de Substituição. Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral, especificamente na técnica de substituição para facilitar a integração. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que pode ser substituída por uma variável nova, simplificando a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Observamos que temos u = arcsin(y) no numerador e no denominador. Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir .

Passo 3

Calculando a derivada de dudy = 1raiz1 - y^2 em relação a dy = raiz1 - y^2 , du :
Isso significa que:

Passo 4

Substituindo integral u2 raiz1 - y^2 cdot raiz1 - y^2 , du = integral u2 , du e 12 integral u , du na integral original:
Simplificando:

Passo 5

Integrando 12 cdot u^22 + C = u^24 + C :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à variável original (arcsin(y))^24 + C , já que :

Resposta

(arcsin(y))^24 + C

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