Calcule as integrais abaixo usando a Regra de Substituição, quando necessário.
(i) integral sen(x) sen^2(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a Regra de Substituição. Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente aplicando técnicas de integração. Vamos precisar entender como manipular funções trigonométricas e aplicar a substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que é o mesmo que . Então, podemos reescrever a integral assim:
Agora, temos que integrar . Para facilitar, vamos usar uma identidade trigonométrica que nos ajuda a lidar com potências ímpares de seno. Sabemos que:

Passo 3

Vamos substituir por integral sen^3(x) , dx = integral sen(x) times sen^2(x) , dx = integral sen(x) times (1 - cos^2(x)) , dx na integral:
Isso nos dá:

Passo 4

Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Começando pela primeira:
A integral de é conhecida:
Onde integral sen(x) , dx é a constante de integração.

Passo 5

Para a segunda integral:
Aqui, vamos usar a Regra de Substituição. Vamos definir:
Substituindo na integral:

Passo 6

Integrando -integral u^2 , du = -( u^33 ) + C = -cos^3(x)3 + C :

Passo 7

Agora, juntando as duas partes que integramos:

Resposta

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