Calcule as integrais definidas abaixo usando a Regra de Substituição, quando necessário.
(a) integral0^1 x raiz1-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida . Estamos trabalhando com integração, e para resolver isso, vamos usar a Regra de Substituição. Vamos precisar escolher uma parte da função para substituir e simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma substituição que simplifique a integral. Olhando para , uma boa escolha é deixar . Dessa forma, a expressão dentro da raiz fica mais simples.

Passo 3

Agora, vamos derivar u = 1 - x^2 dudx = -2x Rightarrow du = -2x , dx em relação a x , dx = -12 du para achar :
Queremos , então rearranjamos:

Passo 4

Substituímos integral0^1 x raiz1 - x^2 , dx = integralu(0)^u(1) raizu (-12) du e u = 1 - 0^2 = 1 na integral original:
u = 1 - 1^2 = 0
Agora precisamos ajustar os limites de integração. Quando -12 integral1^0 raizu , du = 12 integral0^1 raizu , du :
Quando :
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos calcular a integral de integral raizu , du = integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C :
12 [ 23 u^3/2 ]0^1 = 12 ( 23 (1)^3/2 - 23 (0)^3/2 ) = 12 cdot 23 = 13
Aplicando os limites de 0 a 1:

Resposta

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