Calcule as integrais abaixo usando a Regra de Substituição, quando necessário.
(h) integral sen(x) cos ^2(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de cálculo integral, especificamente usando a Regra de Substituição. Para resolver, vamos precisar entender como escolher uma parte da função para substituir por uma variável mais simples, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função para substituir. Observando u = cos(x) e , percebemos que a derivada de é , o que sugere uma boa substituição. Então, vamos definir:
Essa escolha ajuda porque a derivada de em relação a é simples e presente na integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = -sin(x) para encontrar du = -sin(x) ,dx :
sin(x) ,dx = -du
Isso significa que:
Queremos expressar em termos de :

Passo 4

Substituímos integral sin(x) cos^2(x) ,dx = integral cos^2(x) sin(x) ,dx = integral u^2 (-du) = -integral u^2 ,du e -integral u^2 ,du na integral original:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^2 ,du = u^33 + C em relação a -integral u^2 ,du = -u^33 + C :
Então:

Passo 6

Finalmente, substituímos -(cos(x))^33 + C = -cos^3(x)3 + C de volta na expressão:

Resposta

A integral -cos^3(x)3 + C é igual a:

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