Identifique o método a usar e calcule cada uma das integrais abaixo.
(a) integral xx^2+1 d x

Passo 1

Vamos analisar o exercício: precisamos calcular a integral . Esse tipo de integral pertence ao conteúdo de cálculo integral, especificamente integração por substituição. Para resolver, vamos identificar uma parte da função que pode ser substituída para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, olhe para o denominador . Observe que sua derivada em relação a é . Já temos um no numerador, o que sugere que podemos usar substituição.

Passo 3

Vamos fazer a substituição du = 2x , dx . Agora, precisamos calcular , que é a derivada de em relação a :
Isso significa que .

Passo 4

Agora, substituímos na integral original:
integral xx^2+1 , dx = integral 1u cdot du2 = 12 integral 1u , du

Passo 5

A integral de 12 integral 1u , du = 12 ln|u| + C em relação a é . Portanto:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos 12 ln|x^2 + 1| + C de volta pela expressão original:
Como é sempre positivo, podemos remover as barras de valor absoluto.

Resposta

A integral é igual a .

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