Calcule as integrais abaixo usando a Regra de Substituição, quando necessário.
(a) integral x(x^2+1)^2020 d x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de em relação a . A gente vai usar a Regra de Substituição, que é uma técnica para simplificar integrais mais complicadas. Vamos precisar identificar uma parte da função para substituir por , o que vai facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Olha só, dentro da integral, temos u = x^2 + 1 elevado a uma potência grande. Então, faz sentido deixar . Isso vai simplificar a expressão.

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada de dudx = 2x em relação a du = 2x,dx para substituir o . Derivando :
Isso significa que:

Passo 4

Nossa integral original tem um x,dx = du2 . Então, podemos resolver para :

Passo 5

Vamos substituir integral x(x^2 + 1)^2020,dx = integral (u)^2020 cdot du2 e 12 integral u^2020,du na integral original:
Isso simplifica para:

Passo 6

Agora, é só integrar integral u^n,du = u^n+1n+1 + C em relação a 12 cdot u^20212021 + C . A regra da potência da integral diz que:
Aplicando isso:

Passo 7

Por fim, substituímos (x^2 + 1)^20212 cdot 2021 + C de volta para :

Resposta

A integral de (x^2 + 1)^20214042 + C em relação a é:
Onde é a constante de integração.

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