Desenvolver em série de Maclaurin as seguintes funções:
(g) f(x)=integral ln (1+x)x d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Queremos desenvolver a série de Maclaurin para a função . Isso envolve conhecimentos de séries de potências, integração e a série de Maclaurin especificamente. Para resolver, vamos precisar saber como expandir a função em série e como integrar termo a termo.

Passo 2

Vamos começar expandindo a função ln(1+x) = sumn=1^infty (-1)^n+1 x^nn em uma série de potências. Sabemos que para , a série de Maclaurin para é:

Passo 3

Agora, queremos dividir essa série por ln(1+x)x = 1x sumn=1^infty (-1)^n+1 x^nn = sumn=1^infty (-1)^n+1 x^n-1n para obter :

Passo 4

Em seguida, vamos integrar cada termo da série term por termo para encontrar f(x) = integral ln(1+x)x , dx = integral sumn=1^infty (-1)^n+1 x^n-1n , dx = sumn=1^infty (-1)^n+1n integral x^n-1 , dx :

Passo 5

Integrando integral x^n-1 , dx = x^nn em relação a f(x) = sumn=1^infty (-1)^n+1n cdot x^nn = sumn=1^infty (-1)^n+1 x^nn^2 :
Substituindo de volta na série:

Resposta

A série de Maclaurin para a função f(x) = sumn=1^infty (-1)^n+1 x^nn^2 é:

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