Calcule as integrais definidas abaixo usando a Regra de Substituição, quando necessário.

Passo 1

Vamos calcular a integral definida usando a Regra de Substituição. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais que envolvem funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar identificar uma função interna para substituir e simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, observe que a integral pode ser simplificada usando uma substituição. Vamos deixar .

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituímos e na integral original:

Passo 5

A integral de é:
Substituindo de volta, temos:

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a :

Passo 7

Sabemos que , então a expressão simplifica para:

Resposta

A integral definida é igual a .

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(f)
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(b)