Calcule as integrais abaixo usando a Regra de Substituição, quando necessário.
$(j) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa questão envolve o uso da Regra de Substituição, que é uma técnica importante no cálculo para facilitar a integração de funções mais complexas. Vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para dentro da raiz quadrada: . Isso parece um bom candidato para substituição. Vamos chamar .

Passo 3

Agora precisamos expressar em termos de . Sabemos que , então derivando ambos os lados em relação a :
Isso implica que:

Passo 4

Vamos substituir e na integral original. Relembrando que e , mas precisamos também expressar em termos de . De , temos .
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Isso fica mais fácil de integrar termo a termo.

Passo 6

Integrando cada termo separadamente:
Simplificando:

Passo 7

Agora, substituímos de volta em termos de . Lembrando que :

Resposta

A integral é igual a:

Exercícios relacionados

Calcule as integrais abaixo usando a Regra de Substituição, quando necessário.
$(h)
Calcule as integrais abaixo usando a Regra de Substituição, quando necessário.
Use uma mudança de variáveis (substituição) para demonstrar as duas afirmações abaixo. Em seguida, faça uma interpretação geométrica de cada uma delas.
(a) se é par então
Calcule a integral de superfície , em que e é a superfície parametrizada dada por , com .