Calcule as integrais abaixo usando a Regra de Substituição, quando necessário.
$(j)
.
$(j)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Essa questão envolve o uso da Regra de Substituição, que é uma técnica importante no cálculo para facilitar a integração de funções mais complexas. Vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para dentro da raiz quadrada:
. Isso parece um bom candidato para substituição. Vamos chamar
.
Passo 3
Agora precisamos expressar
em termos de
. Sabemos que
, então derivando ambos os lados em relação a
:
Isso implica que:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original. Relembrando que
e
, mas precisamos também expressar
em termos de
. De
, temos
.
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Isso fica mais fácil de integrar termo a termo.
Passo 6
Integrando cada termo separadamente:
Simplificando:
Passo 7
Agora, substituímos
de volta em termos de
. Lembrando que
:
Resposta
A integral
é igual a:
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Calcule as integrais abaixo usando a Regra de Substituição, quando necessário.
$(h)
$(h)
Calcule as integrais abaixo usando a Regra de Substituição, quando necessário.
$©
$©
Use uma mudança de variáveis (substituição) para demonstrar as duas afirmações abaixo. Em seguida, faça uma interpretação geométrica de cada uma delas.
(a) se é par então
(a) se
Calcule a integral de superfície
, em que
e
é a superfície parametrizada dada por
, com
.