Use uma mudança de variáveis (substituição) para demonstrar as duas afirmações abaixo. Em seguida, faça uma interpretação geométrica de cada uma delas.
(a) se
é par então
(a) se
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma função
que é par, ou seja, ela satisfaz
para todo
. Queremos mostrar que a integral de
de
até
é igual a duas vezes a integral de
de
até
. Para isso, vamos usar uma mudança de variável, também conhecida como substituição.
Passo 2
Vamos começar escrevendo a integral de
até
como a soma de duas integrais: de
até
e de
até
. Ou seja,
Passo 3
Agora, vamos focar na primeira integral, de
até
. Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar essa integral. Vamos definir
. Então,
.
Passo 4
Com essa substituição, precisamos também mudar os limites de integração. Quando
, então
. Quando
, então
. Portanto, a integral se transforma em:
Passo 5
Como
é uma função par, sabemos que
. Então, podemos substituir na integral:
E como
é apenas uma variável de integração, podemos renomeá-la para
:
Passo 6
Agora, voltando à nossa expressão original, temos:
Resposta
Portanto, se
é uma função par, então:
Interpretação Geométrica: Como a função
é par, seu gráfico é simétrico em relação ao eixo
. Isso significa que a área sob a curva de
até
é igual à área de
até
. Assim, a integral de
até
é simplesmente duas vezes a integral de
até
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais abaixo usando a Regra de Substituição, quando necessário.
$(j) .
$(j)
Calcule as integrais abaixo usando a Regra de Substituição, quando necessário.
$(h)
$(h)
Calcule a integral de superfície
, em que
e
é a superfície parametrizada dada por
, com
.
Use o Teorema de Stokes para calcular
, em que
, e
é a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e acima do plano
.