Use uma mudança de variáveis (substituição) para demonstrar as duas afirmações abaixo. Em seguida, faça uma interpretação geométrica de cada uma delas.
(a) se é par então

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma função que é par, ou seja, ela satisfaz para todo . Queremos mostrar que a integral de de até é igual a duas vezes a integral de de até . Para isso, vamos usar uma mudança de variável, também conhecida como substituição.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a integral de até como a soma de duas integrais: de até e de até . Ou seja,

Passo 3

Agora, vamos focar na primeira integral, de até . Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar essa integral. Vamos definir . Então, .

Passo 4

Com essa substituição, precisamos também mudar os limites de integração. Quando , então . Quando , então . Portanto, a integral se transforma em:

Passo 5

Como é uma função par, sabemos que . Então, podemos substituir na integral:
E como é apenas uma variável de integração, podemos renomeá-la para :

Passo 6

Agora, voltando à nossa expressão original, temos:

Resposta

Portanto, se é uma função par, então:
Interpretação Geométrica: Como a função é par, seu gráfico é simétrico em relação ao eixo . Isso significa que a área sob a curva de até é igual à área de até . Assim, a integral de até é simplesmente duas vezes a integral de até .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais abaixo usando a Regra de Substituição, quando necessário.
$(j) .
Calcule as integrais abaixo usando a Regra de Substituição, quando necessário.
$(h)
Calcule a integral de superfície , em que e é a superfície parametrizada dada por , com .
Use o Teorema de Stokes para calcular , em que , e é a parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano .