Calcule a integral de superfície integral duplaS F d S, em que F(x, y, z)=(-x,-y, 3) e S é a superfície parametrizada dada por r(u, v)=(u, v, u^2+v^2), com u^2+v^2 <= 9.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície da função vetorial F(x, y, z)=(-x,-y, 3) sobre a superfície S parametrizada por r(u, v)=(u, v, u^2+v^2), onde u^2+v^2 <= 9. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de superfície. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a superfície, calcular o elemento de área diferencial e então integrar a função vetorial sobre essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a superfície S. A parametrização r(u, v)=(u, v, u^2+v^2) representa um paraboloide que abre para cima, e a condição u^2+v^2 <= 9 indica que estamos considerando uma parte desse paraboloide limitada por u^2 + v^2 <= 9, que é um círculo de raio 3 no plano uv.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de área diferencial dS. Para isso, calculamos as derivadas parciais da parametrização em relação a u e v:
partial rpartial u = (1, 0, 2u)
partial rpartial v = (0, 1, 2v)

Passo 4

O elemento de área vetorial dS é dado pelo produto vetorial dessas derivadas parciais:
dS = partial rpartial u times partial rpartial v = i & j & k 1 & 0 & 2u 0 & 1 & 2v = (-2u)i - (-2v)j + (1)k = (-2u, -2v, 1)

Passo 5

Agora, substituímos F na integral de superfície:
integral duplaS F cdot dS = integral duplaD (-u, -v, 3) cdot (-2u, -2v, 1) , du , dv

Passo 6

Calculamos o produto escalar dentro da integral:
(-u)(-2u) + (-v)(-2v) + (3)(1) = 2u^2 + 2v^2 + 3
Então, a integral fica:
integral duplaD (2u^2 + 2v^2 + 3) , du , dv

Passo 7

Como a região D é um círculo de raio 3, é mais fácil mudar para coordenadas polares onde u = rcostheta e v = rsintheta. O elemento de área du , dv vira r , dr , dtheta. A integral fica:
integral0^2pi integral0^3 (2r^2cos^2theta + 2r^2sin^2theta + 3) r , dr , dtheta

Passo 8

Simplificamos a expressão dentro da integral. Note que cos^2theta + sin^2theta = 1, então:
2r^2cos^2theta + 2r^2sin^2theta = 2r^2(cos^2theta + sin^2theta) = 2r^2
Assim, a integral fica:
integral0^2pi integral0^3 (2r^2 + 3) r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^3 (2r^3 + 3r) , dr , dtheta

Passo 9

Calculamos a integral em r primeiro:
integral0^3 (2r^3 + 3r) , dr = [24r^4 + 32r^2]0^3 = [12r^4 + 32r^2]0^3
Substituindo r=3:
12(81) + 32(9) = 812 + 272 = 1082 = 54

Passo 10

Agora, integramos em theta:
integral0^2pi 54 , dtheta = 54 theta |0^2pi = 54 times 2pi = 108pi

Resposta

A integral de superfície é igual a 108pi.

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