Calcule a integral de superfície , em que e é a superfície parametrizada dada por , com .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície da função vetorial sobre a superfície parametrizada por , onde . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de superfície. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a superfície, calcular o elemento de área diferencial e então integrar a função vetorial sobre essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a superfície . A parametrização representa um paraboloide que abre para cima, e a condição indica que estamos considerando uma parte desse paraboloide limitada por , que é um círculo de raio 3 no plano .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o elemento de área diferencial . Para isso, calculamos as derivadas parciais da parametrização em relação a e :
Passo 4
O elemento de área vetorial é dado pelo produto vetorial dessas derivadas parciais:
Passo 5
Agora, substituímos F na integral de superfície:
integral duplaS F cdot dS = integral duplaD (-u, -v, 3) cdot (-2u, -2v, 1) , du , dv
Passo 6
Calculamos o produto escalar dentro da integral:
(-u)(-2u) + (-v)(-2v) + (3)(1) = 2u^2 + 2v^2 + 3
Então, a integral fica:
integral duplaD (2u^2 + 2v^2 + 3) , du , dv
Passo 7
Como a região D é um círculo de raio 3, é mais fácil mudar para coordenadas polares onde u = rcostheta e v = rsintheta. O elemento de área du , dv vira r , dr , dtheta. A integral fica:
integral0^2pi integral0^3 (2r^2cos^2theta + 2r^2sin^2theta + 3) r , dr , dtheta
Passo 8
Simplificamos a expressão dentro da integral. Note que cos^2theta + sin^2theta = 1, então: