Calcule a integral de superfície , em que e é a superfície parametrizada dada por , com .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície da função vetorial sobre a superfície parametrizada por , onde . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de superfície. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a superfície, calcular o elemento de área diferencial e então integrar a função vetorial sobre essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a superfície . A parametrização representa um paraboloide que abre para cima, e a condição indica que estamos considerando uma parte desse paraboloide limitada por , que é um círculo de raio 3 no plano .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o elemento de área diferencial . Para isso, calculamos as derivadas parciais da parametrização em relação a e :
Passo 4
O elemento de área vetorial é dado pelo produto vetorial dessas derivadas parciais:
Passo 5
Agora, substituímos na integral de superfície:
Passo 6
Calculamos o produto escalar dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Como a região é um círculo de raio 3, é mais fácil mudar para coordenadas polares onde e . O elemento de área vira . A integral fica:
Passo 8
Simplificamos a expressão dentro da integral. Note que , então: