Calcule a integral de superfície , em que e é a superfície parametrizada dada por , com .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície da função vetorial sobre a superfície parametrizada por , onde . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de superfície. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a superfície, calcular o elemento de área diferencial e então integrar a função vetorial sobre essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a superfície . A parametrização representa um paraboloide que abre para cima, e a condição indica que estamos considerando uma parte desse paraboloide limitada por , que é um círculo de raio 3 no plano .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de área diferencial . Para isso, calculamos as derivadas parciais da parametrização em relação a e :

Passo 4

O elemento de área vetorial é dado pelo produto vetorial dessas derivadas parciais:

Passo 5

Agora, substituímos na integral de superfície:

Passo 6

Calculamos o produto escalar dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 7

Como a região é um círculo de raio 3, é mais fácil mudar para coordenadas polares onde e . O elemento de área vira . A integral fica:

Passo 8

Simplificamos a expressão dentro da integral. Note que , então:
Assim, a integral fica:

Passo 9

Calculamos a integral em primeiro:
Substituindo :

Passo 10

Agora, integramos em :

Resposta

A integral de superfície é igual a .

Exercícios relacionados

Use uma mudança de variáveis (substituição) para demonstrar as duas afirmações abaixo. Em seguida, faça uma interpretação geométrica de cada uma delas.
(a) se é par então
Calcule as integrais abaixo usando a Regra de Substituição, quando necessário.
$(j) .
Use o Teorema de Stokes para calcular , em que , e é a parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano .
Seja uma superfície orientada com vetor normal unitário . Considere um fluido com densidade e campo de velocidade escoando através de . Então a vazão (em unidade de massa por unidade de tempo) do fluido através de é dada por
Suponha que um fluido tem densidade e escoa em um campo de velocidade , onde e são medidos em metros e as componentes de em metros por segundo. Encontre a vazão para fora do hemisfério .