Desenvolver em série de Taylor e Maclaurin as funções:
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos desenvolver a série de Taylor e Maclaurin para a função
. A matéria que vamos precisar aqui é a série de Taylor e Maclaurin, que nos permite representar funções como somas infinitas de termos. Vamos precisar entender como expandir a função cosseno em série e manipular essa expansão para chegar na série de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da série de Maclaurin para o cosseno. A série de Maclaurin é um caso especial da série de Taylor centrada em 0. A série para
é:
Isso significa que podemos escrever
como uma soma infinita de termos com potências pares de
.
Passo 3
Agora, vamos subtrair 1 de
:
Perceba que o termo constante 1 cancela, e começamos a série com
.
Passo 4
Agora, vamos dividir
por
:
Dividindo cada termo da série por
, reduzimos as potências de
correspondentes.
Passo 5
Portanto, a série de Maclaurin para
é:
Simplificando, podemos reescrever a série começando em
.
Resposta
A série de Maclaurin para
é: