Desenvolver em série de Taylor e Maclaurin as funções:
(g) f(x)=(cos(x)-1)/x^2

Passo 1

Beleza, vamos desenvolver a série de Taylor e Maclaurin para a função . A matéria que vamos precisar aqui é a série de Taylor e Maclaurin, que nos permite representar funções como somas infinitas de termos. Vamos precisar entender como expandir a função cosseno em série e manipular essa expansão para chegar na série de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da série de Maclaurin para o cosseno. A série de Maclaurin é um caso especial da série de Taylor centrada em 0. A série para é:
Isso significa que podemos escrever como uma soma infinita de termos com potências pares de .

Passo 3

Agora, vamos subtrair 1 de :
Perceba que o termo constante 1 cancela, e começamos a série com .

Passo 4

Agora, vamos dividir por :
Dividindo cada termo da série por , reduzimos as potências de correspondentes.

Passo 5

Portanto, a série de Maclaurin para é:
Simplificando, podemos reescrever a série começando em .

Resposta

A série de Maclaurin para é:

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