Desenvolver em série de Taylor e Maclaurin as funções:
(d) f(x) = e^(-x^2)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para desenvolver em série de Taylor e Maclaurin a função . Aqui, vamos utilizar os conceitos de séries de Taylor e Maclaurin, que são ferramentas matemáticas para aproximar funções por meio de polinômios. Para isso, precisaremos entender como calcular derivadas e identificar o padrão que surge ao expandir a função em série.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a série de Maclaurin é um caso especial da série de Taylor, onde o desenvolvimento é feito em torno do ponto . A série de Maclaurin para uma função é dada por:
Neste exercício, vamos desenvolver a série de Maclaurin para .

Passo 3

Começamos calculando as derivadas de e avaliando-as em .
A primeira derivada é:
Avaliada em :
A segunda derivada é:
Avaliada em :
Continuando esse processo, percebemos que as derivadas de ordem ímpar avaliadas em 0 são iguais a zero, e as de ordem par seguem um padrão.

Passo 4

Observando o padrão das derivadas, podemos generalizar a série de Maclaurin para como uma soma infinita envolvendo apenas termos pares. A série fica:
Já que , substituímos na expressão:

Resposta

A série de Maclaurin para a função é dada por:

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