Desenvolver em série de Taylor e Maclaurin as funções:
(d)
(d)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para desenvolver em série de Taylor e Maclaurin a função
. Aqui, vamos utilizar os conceitos de séries de Taylor e Maclaurin, que são ferramentas matemáticas para aproximar funções por meio de polinômios. Para isso, precisaremos entender como calcular derivadas e identificar o padrão que surge ao expandir a função em série.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a série de Maclaurin é um caso especial da série de Taylor, onde o desenvolvimento é feito em torno do ponto
. A série de Maclaurin para uma função
é dada por:
Neste exercício, vamos desenvolver a série de Maclaurin para
.
Passo 3
Começamos calculando as derivadas de
e avaliando-as em
.
A primeira derivada é:
Avaliada em
:
A segunda derivada é:
Avaliada em
:
Continuando esse processo, percebemos que as derivadas de ordem ímpar avaliadas em 0 são iguais a zero, e as de ordem par seguem um padrão.
Passo 4
Observando o padrão das derivadas, podemos generalizar a série de Maclaurin para
como uma soma infinita envolvendo apenas termos pares. A série fica:
Já que
, substituímos na expressão:
Resposta
A série de Maclaurin para a função
é dada por: