Calcule as integrais abaixo usando uma substituição trigonométrica adequada.
integral raiz4+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A matéria que estamos lidando aqui é Cálculo Integral, mais especificamente, integrais que envolvem substituição trigonométrica. Para resolver isso, vamos precisar entender como usar substituições trigonométricas para simplificar integrais com expressões que têm a forma .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a expressão dentro da raiz é x = 2 tan theta , que pode ser escrita como . Isso se encaixa na fórmula , onde . Para esse tipo de expressão, a substituição trigonométrica apropriada é . Então, aqui, vamos usar:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dx = 2 sec^2 theta , dtheta em termos de raiz4 + x^2 = raiz4 + 4 tan^2 theta = raiz4(1 + tan^2 theta) = raiz4 sec^2 theta = 2 sec theta . Derivando ambos os lados da equação em relação a , temos:
Além disso, substituindo na expressão dentro da raiz:

Passo 4

Substituindo integral raiz4 + x^2 , dx = integral 2 sec theta cdot 2 sec^2 theta , dtheta = 4 integral sec^3 theta , dtheta e na integral original:
Agora, precisamos resolver a integral de , que é uma integral padrão em cálculo.

Passo 5

A integral de integral sec^3 theta , dtheta = 12 sec theta tan theta + 12 ln |sec theta + tan theta| + C pode ser resolvida usando uma técnica de integração por partes. O resultado é:
4 integral sec^3 theta , dtheta = 2 sec theta tan theta + 2 ln |sec theta + tan theta| + C
Portanto, multiplicando por 4:

Passo 6

Agora, precisamos voltar à variável original sec theta = raiz4 + x^22 . Lembrando que fizemos a substituição tan theta = x2 , podemos desenhar um triângulo retângulo onde:
  • O cateto oposto a é
  • A hipotenusa é
Assim:

Passo 7

Substituindo 2 sec theta tan theta = 2 cdot raiz4 + x^22 cdot x2 = x raiz4 + x^22 e 2 ln |sec theta + tan theta| = 2 ln |raiz4 + x^22 + x2| = 2 ln |raiz4 + x^2 + x2| de volta na expressão:
2 ln |raiz4 + x^2 + x2| = ln (raiz4 + x^2 + x2)^2 = ln (raiz4 + x^2 + x)^2 - ln 4
ln (raiz4 + x^2 + x)^2 + C = 2 ln (raiz4 + x^2 + x) + C
Podemos simplificar ainda mais:
Como pode ser absorvido na constante de integração, podemos escrever:

Resposta

Portanto, a integral x raiz4 + x^22 + 2 ln (raiz4 + x^2 + x) + C é igual a:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados