Calcule as integrais abaixo usando uma substituição trigonométrica adequada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral: . A matéria que estamos lidando aqui é Cálculo Integral, mais especificamente, integrais que envolvem substituição trigonométrica. Para resolver isso, vamos precisar entender como usar substituições trigonométricas para simplificar integrais com expressões que têm a forma .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a expressão dentro da raiz é , que pode ser escrita como . Isso se encaixa na fórmula , onde . Para esse tipo de expressão, a substituição trigonométrica apropriada é . Então, aqui, vamos usar:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar em termos de . Derivando ambos os lados da equação em relação a , temos:
Além disso, substituindo na expressão dentro da raiz:
Passo 4
Substituindo e na integral original:
Agora, precisamos resolver a integral de , que é uma integral padrão em cálculo.
Passo 5
A integral de pode ser resolvida usando uma técnica de integração por partes. O resultado é:
Portanto, multiplicando por 4:
Passo 6
Agora, precisamos voltar à variável original . Lembrando que fizemos a substituição , podemos desenhar um triângulo retângulo onde:
O cateto oposto a é
A hipotenusa é
Assim:
Passo 7
Substituindo e de volta na expressão:
Podemos simplificar ainda mais:
Como pode ser absorvido na constante de integração, podemos escrever:
Resposta
Portanto, a integral x raiz4 + x^22 + 2 ln (raiz4 + x^2 + x) + C é igual a: