Calcule a integral:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular:
Estamos lidando com uma integral racional, onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição (também conhecida como método da u-substituição), que é ótima para simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável, geralmente chamada de . Observando o denominador , percebemos que sua derivada em relação a é , que aparece no numerador (já que temos um ). Isso é perfeito para a substituição!
Então, definimos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a para encontrar :
Mas na nossa integral, temos apenas . Então, precisamos ajustar a expressão para combinar com o que temos:

Passo 4

Substituindo tudo na integral original, temos:
Aqui, simplificamos a integral original em termos de , que é mais fácil de resolver.

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por último, substituímos de volta pela expressão original em termos de :

Resposta

A integral calculada é:

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Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
; em torno do eixo .
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