Calcule a integral:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular:
Estamos lidando com uma integral racional, onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição (também conhecida como método da u-substituição), que é ótima para simplificar integrais complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável, geralmente chamada de
. Observando o denominador
, percebemos que sua derivada em relação a
é
, que aparece no numerador (já que temos um
). Isso é perfeito para a substituição!
Então, definimos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
para encontrar
:
Mas na nossa integral, temos apenas
. Então, precisamos ajustar a expressão para combinar com o que temos:
Passo 4
Substituindo tudo na integral original, temos:
Aqui, simplificamos a integral original em termos de
, que é mais fácil de resolver.
Passo 5
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Por último, substituímos
de volta pela expressão original em termos de
:
Resposta
A integral calculada é:
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Calcule as integrais abaixo usando uma substituição trigonométrica adequada.
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Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
; em torno do eixo
.
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; em torno do eixo
.