Calcule as integrais abaixo usando uma substituição trigonométrica adequada.
integral (x+1)raiz4-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral usando uma substituição trigonométrica. Para isso, vamos precisar entender como aplicar substituições trigonométricas em integrais que envolvem expressões como .

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica adequada. Observamos que temos x = 2 sin theta , o que se encaixa na forma . Nesse caso, . A substituição que vamos usar é:
Essa substituição simplifica a raiz quadrada e facilita a integração.

Passo 3

Com dx = 2 cos theta , dtheta , vamos encontrar :
Agora, substituímos e na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral:
integral (x+1)raiz4-x^2 , dx = integral (2 sin theta + 1)raiz4 - 4 sin^2 theta cdot 2 cos theta , dtheta
Simplificando a raiz quadrada:
raiz4 - 4 sin^2 theta = raiz4(1 - sin^2 theta) = 2 cos theta
Então, a integral fica:
integral 2 sin theta + 12 cos theta cdot 2 cos theta , dtheta

Passo 5

Simplificando os termos:
integral (2 sin theta + 1) , dtheta = 2 integral sin theta , dtheta + integral 1 , dtheta
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
2 integral sin theta , dtheta = -2 cos theta
integral 1 , dtheta = theta
Então, a integral se torna:
-2 cos theta + theta + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original x = 2 sin theta implies sin theta = x2 . Lembrando que:
Assim, .
Além disso, .

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da integral:
-2 cos theta + theta + C = -2 (raiz4 - x^22) + arcsin(x2) + C
Simplificando:
-raiz4 - x^2 + arcsin(x2) + C

Resposta

A integral -raiz4 - x^2 + arcsin(x2) + C é igual a:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados