Calcule as integrais abaixo usando uma substituição trigonométrica adequada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral
usando uma substituição trigonométrica. Para isso, vamos precisar entender como aplicar substituições trigonométricas em integrais que envolvem expressões como
.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica adequada. Observamos que temos
, o que se encaixa na forma
. Nesse caso,
. A substituição que vamos usar é:
Essa substituição simplifica a raiz quadrada e facilita a integração.
Passo 3
Com
, vamos encontrar
:
Agora, substituímos
e
na integral original.
Passo 4
Substituindo na integral:
Simplificando a raiz quadrada:
Então, a integral fica:
Passo 5
Simplificando os termos:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a integral se torna:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que:
Assim,
.
Além disso,
.
Passo 7
Substituindo de volta na expressão da integral:
Simplificando:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.
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d) (vale 1,0 ponto)
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Usando as regras de derivação apropriadas, determine as derivadas das funções abaixo:
c) (vale 1,0 ponto)
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Calcule as integrais abaixo usando uma substituição trigonométrica adequada.
Calcule a integral: