Calcule as integrais abaixo usando uma substituição trigonométrica adequada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral usando uma substituição trigonométrica. Para isso, vamos precisar entender como aplicar substituições trigonométricas em integrais que envolvem expressões como .

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica adequada. Observamos que temos , o que se encaixa na forma . Nesse caso, . A substituição que vamos usar é:
Essa substituição simplifica a raiz quadrada e facilita a integração.

Passo 3

Com , vamos encontrar :
Agora, substituímos e na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral:
Simplificando a raiz quadrada:
Então, a integral fica:

Passo 5

Simplificando os termos:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a integral se torna:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que:
Assim, .
Além disso, .

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da integral:
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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Usando as regras de derivação apropriadas, determine as derivadas das funções abaixo:
d) (vale 1,0 ponto)
Usando as regras de derivação apropriadas, determine as derivadas das funções abaixo:
c) (vale 1,0 ponto)
Calcule as integrais abaixo usando uma substituição trigonométrica adequada.
Calcule a integral: