Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
; em torno do eixo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume gerado quando a região delimitada pela curva é girada em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo integral usada para encontrar volumes de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva dada: . Essa é a equação de um círculo com centro em e raio 1. Então, a região que vamos girar é um círculo de raio 1, centrado no ponto .

Passo 3

Como vamos girar essa região em torno do eixo , o método das cascas cilíndricas é apropriado. Esse método envolve cortar a região em pequenas “cascas” verticais e calcular o volume de cada casca quando girada em torno do eixo.

Passo 4

Vamos reescrever a equação do círculo para expressar em função de :
Isso nos dá os limites para em termos de .

Passo 5

No método das cascas, a fórmula para o volume é:
Aqui, é a altura da casca, que no nosso caso é a diferença entre as funções de .

Passo 6

Como nossa rotação é em torno do eixo , precisamos expressar a altura em termos de . No círculo, para cada , a altura é .

Passo 7

Agora, ajustamos os limites de integração. O círculo vai de a . Então, nosso intervalo de integração para é de 0 a 2.

Passo 8

Substituindo tudo na fórmula do volume:
Simplificando:

Passo 9

Reconhecemos que a integral representa a área de um semicirculo de raio 1, que é .

Passo 10

Portanto, calculamos o volume:

Resposta

O volume gerado pela rotação é unidades cúbicas.

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Calcule a integral:
Calcule as integrais abaixo usando uma substituição trigonométrica adequada.
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
; em torno do eixo .
Calcule a integral: