Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
; em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume gerado quando a região delimitada pela curva
é girada em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo integral usada para encontrar volumes de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva dada:
. Essa é a equação de um círculo com centro em
e raio 1. Então, a região que vamos girar é um círculo de raio 1, centrado no ponto
.
Passo 3
Como vamos girar essa região em torno do eixo
, o método das cascas cilíndricas é apropriado. Esse método envolve cortar a região em pequenas “cascas” verticais e calcular o volume de cada casca quando girada em torno do eixo.
Passo 4
Vamos reescrever a equação do círculo para expressar
em função de
:
Isso nos dá os limites para
em termos de
.
Passo 5
No método das cascas, a fórmula para o volume é:
Aqui,
é a altura da casca, que no nosso caso é a diferença entre as funções de
.
Passo 6
Como nossa rotação é em torno do eixo
, precisamos expressar a altura
em termos de
. No círculo, para cada
, a altura é
.
Passo 7
Agora, ajustamos os limites de integração. O círculo vai de
a
. Então, nosso intervalo de integração para
é de 0 a 2.
Passo 8
Substituindo tudo na fórmula do volume:
Simplificando:
Passo 9
Reconhecemos que a integral
representa a área de um semicirculo de raio 1, que é
.
Passo 10
Portanto, calculamos o volume:
Resposta
O volume gerado pela rotação é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule a integral:
Calcule as integrais abaixo usando uma substituição trigonométrica adequada.
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
; em torno do eixo
.
Calcule a integral: