Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica:
integral raizx^2-a^2 d xx;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente precisa calcular a integral de raizx^2-a^2x em relação a x. Para isso, vamos usar a substituição trigonométrica, que é uma técnica bacana quando temos expressões envolvendo raízes quadradas de polinômios. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a substituição trigonométrica que vamos usar. Quando temos uma expressão do tipo raizx^2 - a^2, uma boa substituição é usar a função hiperbólica ou trigonométrica. Aqui, vamos optar por uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
x = a sec theta
Essa substituição é útil porque ela simplifica a expressão dentro da raiz. Agora, vamos encontrar dx em termos de dtheta.

Passo 3

Calculando dx:
x = a sec theta dx = a sec theta tan theta , dtheta
Agora, vamos substituir x e dx na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral:
integral raizx^2 - a^2x dx = integral raiza^2 sec^2 theta - a^2a sec theta cdot a sec theta tan theta , dtheta
Simplificando a expressão dentro da raiz:
raiza^2 sec^2 theta - a^2 = raiza^2 (sec^2 theta - 1) = raiza^2 tan^2 theta = a tan theta

Passo 5

Agora, substituindo de volta na integral:
integral a tan thetaa sec theta cdot a sec theta tan theta , dtheta = integral tan^2 theta , dtheta
Sabemos que tan^2 theta = sec^2 theta - 1, então:
integral tan^2 theta , dtheta = integral (sec^2 theta - 1) , dtheta = integral sec^2 theta , dtheta - integral 1 , dtheta

Passo 6

Integrando termo a termo:
integral sec^2 theta , dtheta = tan theta integral 1 , dtheta = theta
Então:
integral tan^2 theta , dtheta = tan theta - theta + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, precisamos voltar à variável original x. Lembrando que:
x = a sec theta Rightarrow sec theta = xa Rightarrow theta = sec^-1 ( xa )
E da substituição x = a sec theta, temos também:
tan theta = raizsec^2 theta - 1 = raiz( xa )^2 - 1 = raizx^2 - a^2a

Resposta

Substituindo de volta, a integral fica:
integral raizx^2-a^2x dx = raizx^2 - a^2 - a sec^-1 ( xa ) + C

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