Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente precisa calcular a integral de
em relação a
. Para isso, vamos usar a substituição trigonométrica, que é uma técnica bacana quando temos expressões envolvendo raízes quadradas de polinômios. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a substituição trigonométrica que vamos usar. Quando temos uma expressão do tipo
, uma boa substituição é usar a função hiperbólica ou trigonométrica. Aqui, vamos optar por uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
Essa substituição é útil porque ela simplifica a expressão dentro da raiz. Agora, vamos encontrar
em termos de
.
Passo 3
Calculando
:
Agora, vamos substituir
e
na integral original.
Passo 4
Substituindo na integral:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Passo 5
Agora, substituindo de volta na integral:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Integrando termo a termo:
Então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, precisamos voltar à variável original
. Lembrando que:
E da substituição
, temos também:
Resposta
Substituindo de volta, a integral fica: