Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica:
;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente precisa calcular a integral de em relação a . Para isso, vamos usar a substituição trigonométrica, que é uma técnica bacana quando temos expressões envolvendo raízes quadradas de polinômios. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a substituição trigonométrica que vamos usar. Quando temos uma expressão do tipo , uma boa substituição é usar a função hiperbólica ou trigonométrica. Aqui, vamos optar por uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
Essa substituição é útil porque ela simplifica a expressão dentro da raiz. Agora, vamos encontrar em termos de .

Passo 3

Calculando :
Agora, vamos substituir e na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral:
Simplificando a expressão dentro da raiz:

Passo 5

Agora, substituindo de volta na integral:
Sabemos que , então:

Passo 6

Integrando termo a termo:
Então:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, precisamos voltar à variável original . Lembrando que:
E da substituição , temos também:

Resposta

Substituindo de volta, a integral fica:

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Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo:
Levando-se em conta estes resultados determine área-da superf’cie de revolução-e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
(e) curva de Agnesi e eixo , para ;
Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
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