Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
integral(x^2-5 x+5) e^-x d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a técnica de integração por partes. Esse método é parte do conteúdo de cálculo integral e é super útil quando temos o produto de duas funções, como nesse caso. Para começar, precisamos identificar duas partes na nossa integral que vamos chamar de e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, é uma função que vamos derivar ( ) e é a outra parte que vamos integrar ( ). A ideia é escolher de forma que sua derivada simplifique a integral.

Passo 3

Na nossa integral u = x^2 - 5x + 5 e dv = e^-x , dx , vamos escolher:
du = ddx(x^2 - 5x + 5) , dx = (2x - 5) , dx
Agora, vamos calcular v = integral e^-x , dx = -e^-x e :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral(x^2 - 5x + 5) e^-x , dx = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= (x^2 - 5x + 5)(-e^-x) - integral (-e^-x)(2x - 5) , dx
Simplificando:
= -(x^2 - 5x + 5)e^-x + integral (2x - 5)e^-x , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral u = 2x - 5 e dv = e^-x , dx . Vamos aplicar novamente a integração por partes. Escolhemos:
du = ddx(2x - 5) , dx = 2 , dx
Calculando v = integral e^-x , dx = -e^-x e :

Passo 6

Aplicando a fórmula novamente:
integral (2x - 5)e^-x , dx = uv - integral v , du
Substituindo:
= (2x - 5)(-e^-x) - integral (-e^-x)(2) , dx
Simplificando:
= - (2x - 5)e^-x + 2 integral e^-x , dx
Sabendo que = - (2x - 5)e^-x - 2e^-x + C , temos:

Passo 7

Voltando à nossa expressão anterior:
-(x^2 - 5x + 5)e^-x + integral (2x - 5)e^-x , dx
Substituindo a integral resolvida:
= -(x^2 - 5x + 5)e^-x + [ - (2x - 5)e^-x - 2e^-x ] + C
Simplificando todos os termos:
= -x^2e^-x + 5xe^-x - 5e^-x - 2xe^-x + 5e^-x - 2e^-x + C
Agrupando termos semelhantes:
= -x^2e^-x + (5x - 2x)e^-x + (-5 + 5 - 2)e^-x + C
= -x^2e^-x + 3x e^-x - 2e^-x + C

Resposta

A integral - e^-x ( x^2 - 3x + 2 ) + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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