Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a técnica de integração por partes. Esse método é parte do conteúdo de cálculo integral e é super útil quando temos o produto de duas funções, como nesse caso. Para começar, precisamos identificar duas partes na nossa integral que vamos chamar de e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, é uma função que vamos derivar ( ) e é a outra parte que vamos integrar ( ). A ideia é escolher de forma que sua derivada simplifique a integral.

Passo 3

Na nossa integral , vamos escolher:
Agora, vamos calcular e :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral . Vamos aplicar novamente a integração por partes. Escolhemos:
Calculando e :

Passo 6

Aplicando a fórmula novamente:
Substituindo:
Simplificando:
Sabendo que , temos:

Passo 7

Voltando à nossa expressão anterior:
Substituindo a integral resolvida:
Simplificando todos os termos:
Agrupando termos semelhantes:

Resposta

A integral é igual a:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica:
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Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
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