Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo:
integral d xx raiz2 x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral . Esse tipo de integral envolve uma substituição para simplificar a expressão e facilitar a resolução. Vamos precisar usar conhecimentos de álgebra e cálculo de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais simples. Observando a raiz quadrada , uma boa ideia é definir . Assim, estamos transformando a expressão complicada em algo mais manejável.

Passo 3

Com a substituição t^2 = 2x + 1 , vamos elevar os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz:
2x = t^2 - 1 implies x = t^2 - 12
Agora, resolvemos para :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a expressão para dx = 2t2 dt = t , dt em termos de . Diferenciando a equação em relação a , temos:
Então, .

Passo 5

Substituímos integral dxx raiz2x + 1 = integral t , dtt^2 - 12 cdot t = integral t , dtt(t^2 - 1)2 e integral 2 , dtt^2 - 1 na integral original:
Simplificando a fração:

Passo 6

A integral agora ficou mais simples: 1t^2 - 1 = 12 ( 1t - 1 - 1t + 1 ) . Essa é uma integral padrão que pode ser resolvida usando frações parciais. Sabemos que:
integral 2 , dtt^2 - 1 = integral ( 1t - 1 - 1t + 1 ) dt
Portanto:

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
integral 1t - 1 , dt - integral 1t + 1 , dt = ln|t - 1| - ln|t + 1| + C
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Lembrando que ln|raiz2x + 1 - 1| - ln|raiz2x + 1 + 1| + C , substituímos de volta:
ln( raiz2x + 1 - 1raiz2x + 1 + 1 ) + C
Podemos simplificar isso usando propriedades dos logaritmos:

Resposta

A integral ln( raiz2x + 1 - 1raiz2x + 1 + 1 ) + C é igual a:

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