Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral . Esse tipo de integral envolve uma substituição para simplificar a expressão e facilitar a resolução. Vamos precisar usar conhecimentos de álgebra e cálculo de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais simples. Observando a raiz quadrada , uma boa ideia é definir . Assim, estamos transformando a expressão complicada em algo mais manejável.

Passo 3

Com a substituição , vamos elevar os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Agora, resolvemos para :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a expressão para em termos de . Diferenciando a equação em relação a , temos:
Então, .

Passo 5

Substituímos e na integral original:
Simplificando a fração:

Passo 6

A integral agora ficou mais simples: . Essa é uma integral padrão que pode ser resolvida usando frações parciais. Sabemos que:
Portanto:

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta:
Podemos simplificar isso usando propriedades dos logaritmos:

Resposta

A integral é igual a:

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Levando-se em conta estes resultados determine área-da superf’cie de revolução-e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
(e) curva de Agnesi e eixo , para ;
Levando-se em conta estes resultados determine área-da superf’cie de revolução-e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
(d) curva , eixo ox e ;
Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica:
;
Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes: