Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral
. Esse tipo de integral envolve uma substituição para simplificar a expressão e facilitar a resolução. Vamos precisar usar conhecimentos de álgebra e cálculo de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais simples. Observando a raiz quadrada
, uma boa ideia é definir
. Assim, estamos transformando a expressão complicada em algo mais manejável.
Passo 3
Com a substituição
, vamos elevar os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Agora, resolvemos para
:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a expressão para
em termos de
. Diferenciando a equação
em relação a
, temos:
Então,
.
Passo 5
Substituímos
e
na integral original:
Simplificando a fração:
Passo 6
A integral agora ficou mais simples:
. Essa é uma integral padrão que pode ser resolvida usando frações parciais. Sabemos que:
Portanto:
Passo 7
Agora, integramos termo a termo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta:
Podemos simplificar isso usando propriedades dos logaritmos:
Resposta
A integral
é igual a: