Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
integral arcsin x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . O assunto aqui é cálculo integral, mais especificamente a técnica de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar a função e integrar funções simples como .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, vamos escolher:
  • (porque é uma função que sabemos derivar)
  • (facil de integrar)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar e :
  • Derivando : , então
  • Integrando : , então

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral arcsin x , dx = uv - integral v , du = x cdot arcsin x - integral x cdot 1raiz1 - x^2 , dx

Passo 5

Vamos resolver a nova integral integral xraiz1 - x^2 , dx = -12 integral w^-1/2 , dw = -12 cdot 2 w^1/2 + C = -raizw + C = -raiz1 - x^2 + C . Podemos fazer uma substituição:
  • Seja , então , ou seja,
    Substituindo:

Passo 6

Voltando à expressão anterior:
integral arcsin x , dx = x cdot arcsin x - (-raiz1 - x^2) + C = x cdot arcsin x + raiz1 - x^2 + C

Resposta

integral arcsin x , dx = x cdot arcsin x + raiz1 - x^2 + C

Exercícios relacionados