Levando-se em conta estes resultados determine área-da superf’cie de revolução-e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
(e) curva de Agnesi e eixo , para ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a área da superfície de revolução e o volume do sólido de revolução gerados pela curva de Agnesi, que é dada por , ao girarmos essa região em torno do eixo no intervalo de a .
Para isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente as fórmulas de área de superfície e volume de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume do sólido de revolução. Quando a gente gira uma curva em torno do eixo , o volume pode ser calculado usando a fórmula:
No nosso caso, e , então a integral fica:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral para o volume fica:

Passo 4

Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição trigonométrica ou reconhecer que:
Aplicando os limites de a :

Passo 5

Calculando nos limites:
Para :
Para :
Então, o volume fica:

Passo 6

Agora, vamos calcular a área da superfície de revolução. A fórmula para a área ao girar em torno do eixo é:
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de em relação a :

Passo 7

Agora, vamos calcular :
A raiz quadrada disso fica complicada, mas para simplificar, vamos deixar a expressão na integral assim mesmo:

Passo 8

Para resolver essa integral, podemos notar que a expressão dentro da raiz pode ser reescrita e simplificada, mas envolve integrais mais complexas que podem não ter solução em termos de funções elementares. Portanto, podemos expressar a área da superfície de revolução da seguinte forma:
Essa integral pode ser resolvida numericamente dependendo do valor de .

Resposta

O volume do sólido de revolução é e a área da superfície de revolução é dada pela integral .

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Levando-se em conta estes resultados determine área-da superf’cie de revolução-e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
(d) curva , eixo ox e ;
Levando-se em conta estes resultados determine área-da superf’cie de revolução-e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
(a) parábola e o eixo ox;
Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo:
Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica:
;