Levando-se em conta estes resultados determine área-da superf’cie de revolução-e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
(e) curva de Agnesi
e eixo
, para
;
(e) curva de Agnesi
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a área da superfície de revolução e o volume do sólido de revolução gerados pela curva de Agnesi, que é dada por
, ao girarmos essa região em torno do eixo
no intervalo de
a
.
Para isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente as fórmulas de área de superfície e volume de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume do sólido de revolução. Quando a gente gira uma curva em torno do eixo
, o volume
pode ser calculado usando a fórmula:
No nosso caso,
e
, então a integral fica:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral para o volume fica:
Passo 4
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição trigonométrica ou reconhecer que:
Aplicando os limites de
a
:
Passo 5
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Então, o volume fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular a área da superfície de revolução. A fórmula para a área
ao girar em torno do eixo
é:
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Passo 7
Agora, vamos calcular
:
A raiz quadrada disso fica complicada, mas para simplificar, vamos deixar a expressão na integral assim mesmo:
Passo 8
Para resolver essa integral, podemos notar que a expressão dentro da raiz pode ser reescrita e simplificada, mas envolve integrais mais complexas que podem não ter solução em termos de funções elementares. Portanto, podemos expressar a área da superfície de revolução da seguinte forma:
Essa integral pode ser resolvida numericamente dependendo do valor de
.
Resposta
O volume do sólido de revolução é
e a área da superfície de revolução é dada pela integral
.
Exercícios relacionados
Levando-se em conta estes resultados determine área-da superf’cie de revolução-e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
(d) curva , eixo ox e
;
(d) curva
Levando-se em conta estes resultados determine área-da superf’cie de revolução-e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
(a) parábola e o eixo ox;
(a) parábola
Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo:
Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica:
;