Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
integral x d xsen(x)^2 ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema que temos é calcular a integral:
integral xsen(x)^2 , dx
O conteúdo que vamos utilizar aqui é a técnica de integração por partes, que é uma maneira de integrar produtos de funções. Para aplicar essa técnica, precisamos identificar duas partes na nossa integral: uma que vamos derivar e outra que vamos integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, escolhendo corretamente u = x e dv = 1sen(x)^2 , dx e é essencial para simplificar a integral. No nosso caso, vamos escolher:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = ddx (x) , dx = 1 cdot dx = dx e v = integral 1sen(x)^2 , dx = integral csc^2(x) , dx :
Derivando v = -cot(x) + C :
Integrando :
Sabemos que a integral de é:
Mas como estamos aplicando a fórmula de integração por partes, não precisamos do constante de integração aqui.

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral xsen(x)^2 , dx = x cdot (-cot(x)) - integral (-cot(x)) cdot dx
Simplificando:
= -x cdot cot(x) + integral cot(x) , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral integral cot(x) , dx = ln|sen(x)| + C .
Sabemos que:
- x cdot cot(x) + ln|sen(x)| + C
Portanto, substituindo de volta:

Resposta

A integral calculada é:
integral xsen(x)^2 , dx = -x cdot cot(x) + ln|sen(x)| + C

Exercícios relacionados