Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica:
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral usando substituição trigonométrica. Isso significa que vamos usar trigonometria para simplificar a integral. Para isso, precisamos lembrar de como fazer a substituição trigonométrica quando temos uma raiz quadrada do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte trigonométrica. Temos , que se encaixa na forma com . A ideia é fazer uma substituição que transforme essa expressão em uma função trigonométrica mais simples. Vamos usar:
Isso significa que vamos definir como vezes o seno de um ângulo .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a para encontrar :
Também vamos substituir na expressão dentro da raiz:

Passo 4

Substituindo tudo na integral original:
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, vamos integrar . Podemos reescrever como e usar a identidade :
Fazendo a substituição , então :
Integrando termo a termo:
Substituindo de volta :

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que fizemos , então:
Substituindo na expressão:
Simplificando:
Simplificando os coeficientes:

Resposta

Portanto, a integral é igual a:
Onde é a constante de integração.

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