Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica:
integral x^3 d xraiz2-x^2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral integral x^3 dxraiz2 - x^2 usando substituição trigonométrica. Isso significa que vamos usar trigonometria para simplificar a integral. Para isso, precisamos lembrar de como fazer a substituição trigonométrica quando temos uma raiz quadrada do tipo raiza^2 - x^2.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte trigonométrica. Temos raiz2 - x^2, que se encaixa na forma raiza^2 - x^2 com a = raiz2. A ideia é fazer uma substituição que transforme essa expressão em uma função trigonométrica mais simples. Vamos usar:
x = raiz2 sin theta
Isso significa que vamos definir x como raiz2 vezes o seno de um ângulo theta.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de x em relação a theta para encontrar dx:
dx = raiz2 cos theta , dtheta
Também vamos substituir x na expressão dentro da raiz:
raiz2 - x^2 = raiz2 - 2 sin^2 theta = raiz2(1 - sin^2 theta) = raiz2 cos theta

Passo 4

Substituindo tudo na integral original:
integral x^3 dxraiz2 - x^2 = integral (raiz2 sin theta)^3 cdot raiz2 cos theta , dthetaraiz2 cos theta
Simplificando os termos:
= integral 2^32 sin^3 theta cdot raiz2 cos thetaraiz2 cos theta dtheta
= integral 2^2 sin^3 theta , dtheta
= 4 integral sin^3 theta , dtheta

Passo 5

Agora, vamos integrar sin^3 theta. Podemos reescrever sin^3 theta como sin^2 theta cdot sin theta e usar a identidade sin^2 theta = 1 - cos^2 theta:
4 integral (1 - cos^2 theta) sin theta , dtheta
Fazendo a substituição u = cos theta, então du = -sin theta , dtheta:
4 integral (1 - u^2) (-du)
= 4 integral (u^2 - 1) du
Integrando termo a termo:
= 4 ( u^33 - u ) + C
Substituindo de volta u = cos theta:
= 4 ( cos^3 theta3 - cos theta ) + C

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original x. Lembrando que fizemos x = raiz2 sin theta, então:
sin theta = xraiz2 Rightarrow cos theta = raiz1 - sin^2 theta = raiz1 - x^22 = raiz2 - x^2raiz2
Substituindo cos theta na expressão:
4 ( (raiz2 - x^2raiz2)^33 - raiz2 - x^2raiz2 ) + C
Simplificando:
4 ( (2 - x^2)^323 cdot 2^32 - (2 - x^2)^122^12 ) + C
= 43 cdot 2^32 (2 - x^2)^32 - 42^12 (2 - x^2)^12 + C
Simplificando os coeficientes:
= raiz23 (2 - x^2)^32 - 2raiz2 (2 - x^2)^12 + C

Resposta

Portanto, a integral integral x^3 dxraiz2 - x^2 é igual a:
raiz23 (2 - x^2)^32 - 2raiz2 (2 - x^2)^12 + C
Onde C é a constante de integração.

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