Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica: ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral usando substituição trigonométrica. Isso significa que vamos usar trigonometria para simplificar a integral. Para isso, precisamos lembrar de como fazer a substituição trigonométrica quando temos uma raiz quadrada do tipo .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte trigonométrica. Temos , que se encaixa na forma com . A ideia é fazer uma substituição que transforme essa expressão em uma função trigonométrica mais simples. Vamos usar:
Isso significa que vamos definir como vezes o seno de um ângulo .
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a para encontrar :
Também vamos substituir na expressão dentro da raiz:
Passo 4
Substituindo tudo na integral original:
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, vamos integrar . Podemos reescrever como e usar a identidade :
Fazendo a substituição , então :
Integrando termo a termo:
Substituindo de volta :
Passo 6
Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que fizemos , então: