ll integral0^3 raizx+1 d x & x=2 t-1 integral1 / 2^1 d xraiz1-x^4 & x=sen t ; integral3 / 4^4 / 3 d xraizx^2+1 & x=sht ; X=tan (X) integral0^pi / 2 f(x) d x & x=arctan t

Passo 1

Beleza, vamos resolver o primeiro integral: . Isso envolve cálculo de integrais usando substituição. Vamos precisar substituir a variável por uma nova variável para facilitar a integração.

Passo 2

A substituição sugerida é dx = 2 , dt . Então, vamos primeiro encontrar em termos de :

Passo 3

Agora, vamos mudar os limites de integração de 0 = 2t - 1 implies t = 12 para 3 = 2t - 1 implies t = 2 :
  • Quando :
  • Quando :

Passo 4

Substituindo integral0^3 raizx+1 , dx = integral12^2 raiz2t - 1 + 1 cdot 2 , dt = integral12^2 raiz2t cdot 2 , dt e na integral:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da raiz:
raiz2t = raiz2 cdot raizt
Então, a integral fica:
2raiz2 integral12^2 raizt , dt

Passo 6

Integrando integral raizt , dt = integral t^12 , dt = 23 t^32 + C :

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
2raiz2 [ 23 t^32 ]12^2 = 4raiz23 ( 2^32 - (12)^32 )

Passo 8

Calculando as potências:
2^32 = 2 cdot raiz2 e (12)^32 = 12 raiz2
Então:
4raiz23 ( 2raiz2 - 12raiz2 ) = 4raiz23 ( 2raiz2 - raiz24 ) = 4raiz23 cdot 7raiz24 = 283

Passo 9

Agora vamos para o segundo integral: . Vamos usar a substituição para simplificar a integral.

Passo 10

Com a substituição dx = cos t , dt , calculamos :

Passo 11

Mudando os limites de integração de 12 = sin t implies t = arcsin(12) = pi6 para 1 = sin t implies t = pi2 :
  • Quando :
  • Quando :

Passo 12

Substituindo integral12^1 dxraiz1 - x^4 = integralpi6^pi2 cos t , dtraiz1 - (sin t)^4 e na integral:

Passo 13

Simplificando a expressão dentro da raiz:
1 - sin^4 t = (1 - sin^2 t)(1 + sin^2 t) = cos^2 t (1 + sin^2 t)
Portanto:
raiz1 - sin^4 t = cos t raiz1 + sin^2 t

Passo 14

A integral agora fica:
integralpi6^pi2 cos t , dtcos t raiz1 + sin^2 t = integralpi6^pi2 dtraiz1 + sin^2 t

Passo 15

Esta integral não possui uma antiderivada elementar, então podemos expressá-la em termos de funções elípticas. Portanto:
integral12^1 dxraiz1 - x^4 = integralpi6^pi2 dtraiz1 + sin^2 t = Função Elíptica de Segunda Espécie çãíé

Passo 16

Vamos resolver o terceiro integral: . A substituição sugerida é e , provavelmente uma confusão, mas vamos considerar .

Passo 17

Com a substituição dx = cosh t , dt , calculamos :

Passo 18

Mudando os limites de integração de 34 = sinh t implies t = sinh^-1(34) para 43 = sinh t implies t = sinh^-1(43) :
  • Quando :
  • Quando :

Passo 19

Substituindo integral34^43 dxraizx^2 + 1 = integralsinh^-1(34)^sinh^-1(43) cosh t , dtraizsinh^2 t + 1 e na integral:

Passo 20

Sabemos que raizsinh^2 t + 1 = cosh t , então:
integralsinh^-1(34)^sinh^-1(43) cosh t , dtcosh t = integralsinh^-1(34)^sinh^-1(43) dt = sinh^-1(43) - sinh^-1(34)
Portanto, a integral simplifica para:

Passo 21

Por último, vamos resolver a integral com a substituição . Vamos precisar expressar em termos de para integrar.

Passo 22

Com a substituição dx = 11 + t^2 , dt , calculamos :

Passo 23

Mudando os limites de integração de 0 = arctan t implies t = 0 para pi2 = arctan t implies t to infty :
  • Quando :
  • Quando :

Passo 24

Substituindo integral0^pi2 f(x) , dx = integral0^infty f(arctan t) cdot 11 + t^2 , dt e na integral:

Passo 25

Para prosseguir, precisamos de mais informações sobre a função . Sem conhecer , não conseguimos calcular a integral explicitamente.

Resposta

Não é possível determinar o valor da integral sem conhecer a função .

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