ll integral0^4 d x1+raizx & x=t^2 integral3^29 (x-2)^2 / 3 d x(x-2)^2 / 3+3 & x-2=z^3 integral0^ln 2 raize^x-1 d x & e^x-1=z^2 integral0^pi d t3+2 cos t & tan (t2)=z integral0^pi / 2 d x1+a^2 sen^2 x & tan x=t

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver um exercício de integrais usando substituição. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais, especificamente com mudança de variável. Vamos precisar entender como fazer a substituição correta para simplificar a integral e facilitar o cálculo.

Passo 2

Vamos começar com a primeira integral:
integral0^4 dx1+raizx com a substituição x = t^2 çã
Primeiro, fazemos a substituição proposta: . Isso significa que vamos expressar tudo em termos de .

Passo 3

Calculamos dx = ddt(t^2) , dt = 2t , dt em termos de :

Passo 4

Agora, substituímos integral dx1+raizx = integral 2t , dt1 + t e na integral original:

Passo 5

Simplificamos a fração 2t1 + t = 2 - 21 + t . Podemos dividir integral (2 - 21 + t) dt por :
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
integral 2 , dt - 2 integral 11 + t , dt = 2t - 2 ln|1 + t| + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Voltamos para a variável original 2raizx - 2 ln(1 + raizx) + C , lembrando que :

Passo 8

Agora, vamos para a segunda integral:
integral3^29 (x-2)^2/3 dx(x-2)^2/3 + 3 com a substituição x - 2 = z^3 çã
Vamos usar substituição para simplificar a integral, onde .

Passo 9

Fazemos a substituição x = z^3 + 2 , então:
dx = ddz(z^3 + 2) , dz = 3z^2 , dz
Calculamos :

Passo 10

Substituímos integral (z^3)^2/3 cdot 3z^2 , dzz^2 + 3 = integral z^2 cdot 3z^2z^2 + 3 , dz = 3 integral z^4z^2 + 3 , dz e na integral:

Passo 11

Simplificamos a fração dividindo z^4 = (z^2 + 3)(z^2 - 3) + 9 por z^4z^2 + 3 = z^2 - 3 + 9z^2 + 3 :
Portanto,

Passo 12

Assim, a integral se torna:
3 integral (z^2 - 3 + 9z^2 + 3) dz = 3 ( integral z^2 dz - 3 integral dz + 9 integral 1z^2 + 3 dz )

Passo 13

Calculamos as integrais separadamente:
integral z^2 dz = z^33 + C, integral dz = z + C, integral 1z^2 + 3 dz = 1raiz3 tan^-1(zraiz3) + C

Passo 14

Substituímos de volta:
3 ( z^33 - 3z + 9 cdot 1raiz3 tan^-1(zraiz3) ) + C = z^3 - 9z + 27raiz3 tan^-1(zraiz3) + C
Simplificando:
z^3 - 9z + 9raiz3 tan^-1(zraiz3) + C

Passo 15

Vamos para a terceira integral:
integral0^ln 2 raize^x - 1 , dx com a substituição e^x - 1 = z^2 çã
Usaremos substituição para facilitar a integral.

Passo 16

Fazemos a substituição e^x = z^2 + 1 implies x = ln(z^2 + 1) , então:
dx = ddz ln(z^2 + 1) , dz = 2zz^2 + 1 , dz
Calculamos :

Passo 17

Substituímos na integral:
integral raizz^2 cdot 2zz^2 + 1 , dz = integral z cdot 2zz^2 + 1 , dz = 2 integral z^2z^2 + 1 , dz

Passo 18

Simplificamos a fração z^2z^2 + 1 = 1 - 1z^2 + 1 :
2 integral (1 - 1z^2 + 1) dz = 2 integral 1 , dz - 2 integral 1z^2 + 1 dz
Então, a integral fica:

Passo 19

Calculamos as integrais separadamente:
2z - 2 tan^-1(z) + C

Passo 20

Voltamos para a variável original z = raize^x - 1 :
2raize^x - 1 - 2 tan^-1(raize^x - 1) + C
Então,

Passo 21

Agora, a quarta integral:
integral0^pi dt3 + 2 cos t com a substituição tan(t2) = z çã
Vamos usar a substituição trigonométrica para simplificar a integral.

Passo 22

Fazemos a substituição cos t = 1 - z^21 + z^2, dt = 21 + z^2 , dz . Precisamos expressar e em termos de .
Sabemos que:

Passo 23

Substituímos integral 21 + z^2 cdot 13 + 2 cdot 1 - z^21 + z^2 , dz = 2 integral 11 + z^2 cdot 13(1 + z^2) + 2(1 - z^2)1 + z^2 , dz e 3(1 + z^2) + 2(1 - z^2) = 3 + 3z^2 + 2 - 2z^2 = 5 + z^2 na integral:
2 integral 11 + z^2 cdot 1 + z^25 + z^2 , dz = 2 integral 15 + z^2 , dz
Simplificando o denominador:
Então,

Passo 24

A integral simplifica para:
2 integral 15 + z^2 , dz
Sabemos que:
integral 1a^2 + z^2 , dz = 1a tan^-1(za) + C
Aqui, .

Passo 25

Portanto,
2 cdot 1raiz5 tan^-1(zraiz5) + C = 2raiz5 tan^-1(zraiz5) + C

Passo 26

Voltamos para a variável original z = tan(t2) :
2raiz5 tan^-1(tan(t2)raiz5) + C
Então,

Passo 27

Por fim, vamos resolver a quinta integral:
Usaremos substituição para simplificar a integral envolvendo funções trigonométricas.

Passo 28

Fazemos a substituição x = tan^-1 t , então:
dx = 11 + t^2 , dt
Calculamos :
Também, .

Passo 29

Substituímos e integral 11 + a^2 ( traiz1 + t^2 )^2 cdot 11 + t^2 , dt = integral 11 + a^2 t^21 + t^2 cdot 11 + t^2 , dt na integral:
1 + a^2 t^21 + t^2 = 1 + t^2 + a^2 t^21 + t^2 = 1 + t^2(1 + a^2)1 + t^2
Simplificando o denominador:
integral 1 + t^21 + t^2(1 + a^2) cdot 11 + t^2 , dt = integral 11 + t^2(1 + a^2) , dt
Então, a integral fica:

Passo 30

A integral simplifica para:
integral 11 + (1 + a^2)t^2 , dt
Sabemos que:
integral 11 + k^2 t^2 , dt = 1k tan^-1(k t) + C
Aqui, .

Passo 31

Portanto,
1raiz1 + a^2 tan^-1( raiz1 + a^2 , t ) + C

Passo 32

Voltamos para a variável original t = tan x :
1raiz1 + a^2 tan^-1( raiz1 + a^2 tan x ) + C
Então,

Resposta

A integral avaliada de 0 a 1raiz1 + a^2 tan^-1( raiz1 + a^2 tan x ) |0^pi2 é:
tan(pi2) tende ao infinito, então tan^-1(infty) = pi2
Calculando os limites:
Para tan(0) = 0, então tan^-1(0) = 0 :
1raiz1 + a^2 ( pi2 - 0 ) = pi2raiz1 + a^2 ã
Para :
ã
Portanto,

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