Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver um exercício de integrais usando substituição. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais, especificamente com mudança de variável. Vamos precisar entender como fazer a substituição correta para simplificar a integral e facilitar o cálculo.

Passo 2

Vamos começar com a primeira integral:
çã
Primeiro, fazemos a substituição proposta: . Isso significa que vamos expressar tudo em termos de .

Passo 3

Calculamos em termos de :

Passo 4

Agora, substituímos e na integral original:

Passo 5

Simplificamos a fração . Podemos dividir por :
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Voltamos para a variável original , lembrando que :

Passo 8

Agora, vamos para a segunda integral:
çã
Vamos usar substituição para simplificar a integral, onde .

Passo 9

Fazemos a substituição , então:
Calculamos :

Passo 10

Substituímos e na integral:

Passo 11

Simplificamos a fração dividindo por :
Portanto,

Passo 12

Assim, a integral se torna:

Passo 13

Calculamos as integrais separadamente:

Passo 14

Substituímos de volta:
Simplificando:

Passo 15

Vamos para a terceira integral:
çã
Usaremos substituição para facilitar a integral.

Passo 16

Fazemos a substituição , então:
Calculamos :

Passo 17

Substituímos na integral:

Passo 18

Simplificamos a fração :
Então, a integral fica:

Passo 19

Calculamos as integrais separadamente:

Passo 20

Voltamos para a variável original :
Então,

Passo 21

Agora, a quarta integral:
çã
Vamos usar a substituição trigonométrica para simplificar a integral.

Passo 22

Fazemos a substituição . Precisamos expressar e em termos de .
Sabemos que:

Passo 23

Substituímos e na integral:
Simplificando o denominador:
Então,

Passo 24

A integral simplifica para:
Sabemos que:
Aqui, .

Passo 25

Portanto,

Passo 26

Voltamos para a variável original :
Então,

Passo 27

Por fim, vamos resolver a quinta integral:
Usaremos substituição para simplificar a integral envolvendo funções trigonométricas.

Passo 28

Fazemos a substituição , então:
Calculamos :
Também, .

Passo 29

Substituímos e na integral:
Simplificando o denominador:
Então, a integral fica:

Passo 30

A integral simplifica para:
Sabemos que:
Aqui, .

Passo 31

Portanto,

Passo 32

Voltamos para a variável original :
Então,

Resposta

A integral avaliada de 0 a é:
Calculando os limites:
Para :
ã
Para :
ã
Portanto,

Exercícios relacionados

Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica:
;
Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
;