Beleza, galera! Vamos resolver um exercício de integrais usando substituição. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais, especificamente com mudança de variável. Vamos precisar entender como fazer a substituição correta para simplificar a integral e facilitar o cálculo.
Passo 2
Vamos começar com a primeira integral:
Primeiro, fazemos a substituição proposta: . Isso significa que vamos expressar tudo em termos de .
Passo 3
Calculamos em termos de :
Passo 4
Agora, substituímos e na integral original:
Passo 5
Simplificamos a fração . Podemos dividir por :
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, integramos termo a termo:
Onde é a constante de integração.
Passo 7
Voltamos para a variável original , lembrando que :
Passo 8
Agora, vamos para a segunda integral:
Vamos usar substituição para simplificar a integral, onde .
Passo 9
Fazemos a substituição , então:
Calculamos :
Passo 10
Substituímos e na integral:
Passo 11
Simplificamos a fração dividindo por :
Portanto,
Passo 12
Assim, a integral se torna:
Passo 13
Calculamos as integrais separadamente:
Passo 14
Substituímos de volta:
Simplificando:
Passo 15
Vamos para a terceira integral:
Usaremos substituição para facilitar a integral.
Passo 16
Fazemos a substituição , então:
Calculamos :
Passo 17
Substituímos na integral:
Passo 18
Simplificamos a fração :
Então, a integral fica:
Passo 19
Calculamos as integrais separadamente:
Passo 20
Voltamos para a variável original :
Então,
Passo 21
Agora, a quarta integral:
Vamos usar a substituição trigonométrica para simplificar a integral.
Passo 22
Fazemos a substituição . Precisamos expressar e em termos de .
Sabemos que:
Passo 23
Substituímos e na integral:
Simplificando o denominador:
Então,
Passo 24
A integral simplifica para:
Sabemos que:
Aqui, .
Passo 25
Portanto,
Passo 26
Voltamos para a variável original :
Então,
Passo 27
Por fim, vamos resolver a quinta integral:
Usaremos substituição para simplificar a integral envolvendo funções trigonométricas.