Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo:
Passo 1
Vamos resolver a integral
. Aqui, estamos lidando com integração usando substituição, uma técnica de cálculo que ajuda a simplificar integrais complicadas. Para resolver isso, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em como simplificar a expressão dentro da integral. Notamos que temos
no denominador e
no numerador. Uma boa estratégia é escolher
como nossa substituição, porque a derivada de
envolve
, que já está presente na integral.
Então, definimos:
Agora, derivamos ambos os lados em relação a
para encontrar
:
Temos
na integral, então podemos reescrevê-la como
. Sabemos que
, então:
Substituindo na integral:
Passo 3
Agora, simplificamos a expressão dentro da integral:
Vamos integrar termo a termo:
- A integral de
é:
- A integral de
é:
Portanto, a integral fica:
Passo 4
Finalmente, substituímos
de volta na expressão:
Resposta
A integral vale: