Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo:
integral sen(x)^3 d xraizcos x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com integração usando substituição, uma técnica de cálculo que ajuda a simplificar integrais complicadas. Para resolver isso, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como simplificar a expressão dentro da integral. Notamos que temos u = cos x no denominador e du = -sin x , dx no numerador. Uma boa estratégia é escolher -du = sin x , dx como nossa substituição, porque a derivada de sin^3(x) = (1 - cos^2(x)) sin(x) envolve integral (1 - cos^2(x)) sin(x)raizcos x , dx , que já está presente na integral.
Então, definimos:
= integral (1 - u^2)(-du)raizu
Agora, derivamos ambos os lados em relação a = -integral 1 - u^2u^1/2 , du para encontrar :
Temos na integral, então podemos reescrevê-la como . Sabemos que , então:
Substituindo na integral:

Passo 3

Agora, simplificamos a expressão dentro da integral:
-integral 1 - u^2u^1/2 , du = -integral u^-1/2 - u^3/2 , du
Vamos integrar termo a termo:
  1. A integral de integral u^-1/2 , du = 2u^1/2 é:
integral u^3/2 , du = 25u^5/2
  1. A integral de -(2u^1/2 + 25u^5/2) + C é:
= -2raizu - 25u^5/2 + C
Portanto, a integral fica:

Passo 4

Finalmente, substituímos -2raizcos x - 25(cos x)^5/2 + C de volta na expressão:

Resposta

A integral vale:
-2,raizcos x - 25,(cos x)^5/2 + C

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