Calcule as integrais abaixo, usando as técnicas de integração que aprendemos:
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral . Vamos usar técnicas de integração, especificamente a substituição . Para isso, precisamos identificar uma parte da função que a gente possa trocar por uma nova variável , facilitando a resolução.

Passo 2

Dando uma olhada no denominador , percebemos que o numerador é , que está quase relacionado à derivada do denominador. Vamos calcular a derivada de para ver isso melhor.

Passo 3

Calculando a derivada de :
Isso significa que . Legal, já temos uma relação que podemos usar na integral.

Passo 4

Vamos substituir na integral original:
Agora a integral está mais simples!

Passo 5

A integral de em relação a é . Então:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, voltamos a substituir pela expressão original em termos de :

Resposta

A integral é igual a .

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Faça um esboço do sólido obtido pela rotação em torno do eixo da região delimitada pelas curvas e . Calcule o seu volume.