Calcule as integrais abaixo, usando as técnicas de integração que aprendemos:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral
. Vamos usar técnicas de integração, especificamente a substituição
. Para isso, precisamos identificar uma parte da função que a gente possa trocar por uma nova variável
, facilitando a resolução.
Passo 2
Dando uma olhada no denominador
, percebemos que o numerador é
, que está quase relacionado à derivada do denominador. Vamos calcular a derivada de
para ver isso melhor.
Passo 3
Calculando a derivada de
:
Isso significa que
. Legal, já temos uma relação que podemos usar na integral.
Passo 4
Vamos substituir
na integral original:
Agora a integral está mais simples!
Passo 5
A integral de
em relação a
é
. Então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, voltamos a substituir
pela expressão original em termos de
:
Resposta
A integral
é igual a
.
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Faça um esboço do sólido obtido pela rotação em torno do eixo
da região delimitada pelas curvas
e
. Calcule o seu volume.