Calcule as integrais abaixo, usando as técnicas de integração que aprendemos:
.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida . Esse exercício envolve técnicas de integração de frações racionais, especificamente a fração parcial. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples que a gente já saiba integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Para isso, procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão .
Observando:
  • e multiplicam para dar e somam .
Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, vamos decompor a fração em frações parciais. Queremos encontrar números e tais que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Vamos resolver para e . Expandindo o lado direito:
Comparando os coeficientes dos termos semelhantes:
  • Coeficiente de :
  • Termo constante:

Passo 5

Agora, temos um sistema de equações:
Resolvendo o sistema, podemos expressar em função de a partir da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,

Passo 6

Agora que encontramos e , podemos reescrever a fração original:

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
Sabemos que:
Aplicando isso:

Passo 8

Agora, vamos aplicar os limites de integração de a :
Calculando para :
Aqui, não é definido nos reais, mas como o denominador original não se anula no intervalo de integração, podemos considerar os valores absolutos:
Calculando para :
Novamente, usando valores absolutos:

Passo 9

Finalmente, subtraindo os valores:
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:

Resposta

O valor da integral é:

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Vamos utilizar as regras práticas e obter as derivadas das seguintes funções: .
Calcule as integrais abaixo, usando as técnicas de integração que aprendemos:
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