Calcule as integrais abaixo, usando as técnicas de integração que aprendemos:
integral0^1 2 x-19x^2+x-6 d x.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida integral0^1 2x - 19x^2 + x - 6 , dx. Esse exercício envolve técnicas de integração de frações racionais, especificamente a fração parcial. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples que a gente já saiba integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 + x - 6. Para isso, procuramos dois números que multiplicados dão -6 e somados dão 1.
Observando:
  • 3 e -2 multiplicam para dar -6 e somam 1.
Então, podemos escrever:
x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, vamos decompor a fração 2x - 19(x + 3)(x - 2) em frações parciais. Queremos encontrar números A e B tais que:
2x - 19(x + 3)(x - 2) = Ax + 3 + Bx - 2
Multiplicando ambos os lados por (x + 3)(x - 2) para eliminar os denominadores:
2x - 19 = A(x - 2) + B(x + 3)

Passo 4

Vamos resolver para A e B. Expandindo o lado direito:
2x - 19 = A x - 2A + B x + 3B
2x - 19 = (A + B)x + (-2A + 3B)
Comparando os coeficientes dos termos semelhantes:
  • Coeficiente de x:
A + B = 2
  • Termo constante:
-2A + 3B = -19

Passo 5

Agora, temos um sistema de equações:
A + B = 2 -2A + 3B = -19
Resolvendo o sistema, podemos expressar A em função de B a partir da primeira equação:
A = 2 - B
Substituindo na segunda equação:
-2(2 - B) + 3B = -19
-4 + 2B + 3B = -19
5B = -15
B = -3
Então,
A = 2 - (-3) = 5

Passo 6

Agora que encontramos A = 5 e B = -3, podemos reescrever a fração original:
2x - 19(x + 3)(x - 2) = 5x + 3 + -3x - 2 = 5x + 3 - 3x - 2

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 5x + 3 , dx - integral 3x - 2 , dx
Sabemos que:
integral 1x + a , dx = ln|x + a| + C
Aplicando isso:
5 ln|x + 3| - 3 ln|x - 2| + C

Passo 8

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a 1:
[5 ln|x + 3| - 3 ln|x - 2|]0^1
Calculando para x = 1:
5 ln(1 + 3) - 3 ln(1 - 2) = 5 ln(4) - 3 ln(-1)
Aqui, ln(-1) não é definido nos reais, mas como o denominador original não se anula no intervalo de integração, podemos considerar os valores absolutos:
5 ln(4) - 3 ln(1) = 5 ln(4) - 0 = 5 ln(4)
Calculando para x = 0:
5 ln(0 + 3) - 3 ln(0 - 2) = 5 ln(3) - 3 ln(-2)
Novamente, usando valores absolutos:
5 ln(3) - 3 ln(2)

Passo 9

Finalmente, subtraindo os valores:
5 ln(4) - [5 ln(3) - 3 ln(2)] = 5 ln(4) - 5 ln(3) + 3 ln(2)
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:
5 ln(43) + 3 ln(2)

Resposta

O valor da integral é:
5 ln(43) + 3 ln(2)

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