Calcule as integrais abaixo, usando as técnicas de integração que aprendemos:
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral definida
. Esse exercício envolve técnicas de integração de frações racionais, especificamente a fração parcial. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples que a gente já saiba integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Para isso, procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
.
Observando:
-
e multiplicam para dar e somam .
Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora que fatoramos o denominador, vamos decompor a fração
em frações parciais. Queremos encontrar números
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Vamos resolver para
e
. Expandindo o lado direito:
Comparando os coeficientes dos termos semelhantes:
- Coeficiente de
:
- Termo constante:
Passo 5
Agora, temos um sistema de equações:
Resolvendo o sistema, podemos expressar
em função de
a partir da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Passo 6
Agora que encontramos
e
, podemos reescrever a fração original:
Passo 7
Vamos integrar cada termo separadamente:
Sabemos que:
Aplicando isso:
Passo 8
Agora, vamos aplicar os limites de integração de
a
:
Calculando para
:
Aqui,
não é definido nos reais, mas como o denominador original não se anula no intervalo de integração, podemos considerar os valores absolutos:
Calculando para
:
Novamente, usando valores absolutos:
Passo 9
Finalmente, subtraindo os valores:
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:
Resposta
O valor da integral é:
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Calcule as integrais abaixo, usando as técnicas de integração que aprendemos:
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