Faça um esboço do sólido obtido pela rotação em torno do eixo da região delimitada pelas curvas e . Calcule o seu volume.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. A gente precisa desenhar o sólido que forma quando a área delimitada pelas curvas , , e gira em torno do eixo . Depois, vamos calcular o volume desse sólido. Para isso, vamos usar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas) que é bem útil quando a rotação é em torno do eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as curvas:
  • é a parte superior de um círculo de raio 5 centrado na origem.
  • é o eixo .
  • e são linhas verticais.
A região delimitada por essas curvas está entre e , debaixo do semicírculo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume. A fórmula para o volume usando esse método é:
Aqui, é a distância do eixo de rotação (no caso, o eixo ) até a casca cilíndrica, e é a altura da casca.

Passo 4

Vamos identificar . Como a rotação �� em torno do eixo , a altura da casca é a diferença entre a função superior e a função inferior na região. No nosso caso:
Então, a fórmula do volume fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral. Para isso, podemos usar a substituição . Então:
Substituindo na integral:
Simplificando os limites:
Então:

Passo 6

Integrando :
Aplicando os limites:
Calculando cada termo:
Então:

Passo 7

Simplificando:
Podemos também fatorar :

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação é unidades cúbicas.

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Calcule as integrais abaixo, usando as técnicas de integração que aprendemos:
.
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Resolver as seguintes equações exponenciais: ;
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