Faça um esboço do sólido obtido pela rotação em torno do eixo
da região delimitada pelas curvas
e
. Calcule o seu volume.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. A gente precisa desenhar o sólido que forma quando a área delimitada pelas curvas
,
,
e
gira em torno do eixo
. Depois, vamos calcular o volume desse sólido. Para isso, vamos usar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas) que é bem útil quando a rotação é em torno do eixo
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as curvas:
-
é a parte superior de um círculo de raio 5 centrado na origem. -
é o eixo . -
e são linhas verticais.
A região delimitada por essas curvas está entre
e
, debaixo do semicírculo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume. A fórmula para o volume usando esse método é:
Aqui,
é a distância do eixo de rotação (no caso, o eixo
) até a casca cilíndrica, e
é a altura da casca.
Passo 4
Vamos identificar
. Como a rotação �� em torno do eixo
, a altura da casca é a diferença entre a função superior e a função inferior na região. No nosso caso:
Então, a fórmula do volume fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral. Para isso, podemos usar a substituição
. Então:
Substituindo na integral:
Simplificando os limites:
Então:
Passo 6
Integrando
:
Aplicando os limites:
Calculando cada termo:
Então:
Passo 7
Simplificando:
Podemos também fatorar
:
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação é
unidades cúbicas.
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Resolver as seguintes equações exponenciais:
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