Calcule as integrais abaixo, usando as técnicas de integração que aprendemos:
integral0^pi u sin (2 u) d u.

Passo 1

Estamos com o integral integral0^pi u sin (2 u) , du. Vamos resolver isso usando a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções, como aqui.

Passo 2

Na integração por partes, precisamos escolher quais partes serão u e dv. Aqui, vamos escolher:
u = u e dv = sin(2u) , du

Passo 3

Agora, vamos calcular du e v:
du = du
v = integral sin(2u) , du = -12 cos(2u)
Explicação: Integramos sin(2u) usando a fórmula integral sin(ax) , dx = -1a cos(ax).

Passo 4

Aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u sin(2u) , du = u cdot v - integral v cdot du
Substituindo os valores de u, v, e du:
= u cdot (-12 cos(2u)) - integral (-12 cos(2u)) , du
= -u2 cos(2u) + 12 integral cos(2u) , du

Passo 5

Resolvemos a integral restante:
integral cos(2u) , du = 12 sin(2u)
Substituindo de volta:
= -u2 cos(2u) + 12 cdot 12 sin(2u) + C
= -u2 cos(2u) + 14 sin(2u) + C
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a pi:
[ -u2 cos(2u) + 14 sin(2u) ]0^pi
Calculando em u = pi:
-pi2 cos(2pi) + 14 sin(2pi) = -pi2 cdot 1 + 0 = -pi2
Calculando em u = 0:
-02 cos(0) + 14 sin(0) = 0 + 0 = 0
Subtraindo:
-pi2 - 0 = -pi2

Resposta

O valor da integral é -pi2.

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