Calcule as integrais abaixo, usando as técnicas de integração que aprendemos:
integral0^pi4 sen^2(theta) d theta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas, especificamente ao uso de identidades trigonométricas para simplificar a integração. Para resolver, vamos precisar conhecer a identidade de redução para .

Passo 2

Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica que simplifica o quadrado do seno:
sin^2(theta) = 1 - cos(2theta)2
Essa identidade ajuda a transformar a integral de uma função trigonométrica ao quadrado em uma forma mais fácil de integrar.

Passo 3

Substituindo a identidade na integral original, temos:
integral0^pi4 sin^2(theta) dtheta = integral0^pi4 1 - cos(2theta)2 dtheta
Podemos simplificar colocando o = 12 integral0^pi4 (1 - cos(2theta)) dtheta fora da integral:

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral (1) dtheta = theta
integral cos(2theta) dtheta = sin(2theta)2
Portanto, a integral se torna:
12 [ theta - sin(2theta)2 ] gr|0^pi4

Passo 5

Vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para theta = pi4 :
sin(2theta) = sin(pi2) = 1
theta = 0
Para sin(2theta) = sin(0) = 0 :
12 [ ( pi4 - 12 ) - ( 0 - 0 ) ] = 12 ( pi4 - 12 )
Substituindo esses valores na expressão:

Passo 6

Finalmente, simplificando a expressão:
12 cdot pi4 - 12 cdot 12 = pi8 - 14

Resposta

A integral é igual a .

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