Nos exercícios 10 a 12 verifique a igualdade.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa igualdade que envolve derivadas e funções trigonométricas. O exercício pede para verificar se a derivada da função dada realmente é igual a 2. Para isso, vamos precisar usar regras de derivação e algumas identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da função arctangente. Temos:
Esse formato se parece com a fórmula da tangente do ângulo duplo, que é:
Então, podemos reescrever a expressão como:
Passo 3
Sabemos que a função arctan e a tangente são funções inversas, ou seja:
Isso porque a arctangente “desfaz” a tangente, desde que o ângulo esteja no intervalo de definição da arctangente, que é
. Assumindo que
está nesse intervalo, podemos prosseguir.
Passo 4
Agora, temos que derivar
em relação a
. A derivada de
é simplesmente:
Resposta
A igualdade é verdadeira, e a derivada é igual a 2.
Exercícios relacionados
Sendo
uma função invertível, derivável, talque
e
, calcule
.
Calcule as integrais abaixo, usando as técnicas de integração que aprendemos:
.
Deduza as fórmulas dos exercícios 4 e 5 .
Nos exercícios 8 e 9 , encontre
, se
é definida implicitamente pela equação dada.