Nos exercícios 10 a 12 verifique a igualdade.
d/dx (arctg(2*tg(x)/(1-tg(x)^2))) = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa igualdade que envolve derivadas e funções trigonométricas. O exercício pede para verificar se a derivada da função dada realmente é igual a 2. Para isso, vamos precisar usar regras de derivação e algumas identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da função arctangente. Temos:
Esse formato se parece com a fórmula da tangente do ângulo duplo, que é:
Então, podemos reescrever a expressão como:

Passo 3

Sabemos que a função arctan e a tangente são funções inversas, ou seja:
Isso porque a arctangente “desfaz” a tangente, desde que o ângulo esteja no intervalo de definição da arctangente, que é . Assumindo que x está nesse intervalo, podemos prosseguir.

Passo 4

Agora, temos que derivar em relação a x. A derivada de é simplesmente:

Resposta

A igualdade é verdadeira, e a derivada é igual a 2.

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