Calcule as integrais abaixo utilizando o método mais adequado:
(f) Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral para calcular que envolve a função inversa do seno, também conhecida como arco seno, e uma raiz quadrada no denominador. O conteúdo aqui é de cálculo integral, especialmente integração por substituição. Vamos precisar entender como manipular funções inversas trigonométricas e usar substituição para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na integral:
A função é o arco seno de , ou seja, é a função inversa do seno. A presença de sugere que podemos usar uma substituição trigonométrica para simplificar essa expressão.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja:
Isso significa que:
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a para encontrar :
Passo 4
Substituindo e na integral original, temos:
Sabemos que , então a expressão se simplifica para:
Passo 5
Agora, a integral ficou bem mais simples:
A integral de é o logaritmo natural de , então:
onde é a constante de integração.
Passo 6
Lembrando que fizemos a substituição , vamos substituir de volta na expressão: