Calcule as integrais abaixo utilizando o método mais adequado:
(f) Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral para calcular que envolve a função inversa do seno, também conhecida como arco seno, e uma raiz quadrada no denominador. O conteúdo aqui é de cálculo integral, especialmente integração por substituição. Vamos precisar entender como manipular funções inversas trigonométricas e usar substituição para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na integral:
integral dxsen^-1(x) raiz1 - x^2
A função é o arco seno de , ou seja, é a função inversa do seno. A presença de sugere que podemos usar uma substituição trigonométrica para simplificar essa expressão.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja:
u = sen^-1(x)
Isso significa que:
x = sen(u)
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a dx = sen'(u) , du = cos(u) , du para encontrar :
Passo 4
Substituindo integral cos(u) , duu raiz1 - sen^2(u) e integral cos(u) , duu cos(u) = integral duu na integral original, temos:
Sabemos que , então a expressão se simplifica para:
Passo 5
Agora, a integral ficou bem mais simples:
integral duu
A integral de integral duu = ln|u| + C é o logaritmo natural de , então:
onde é a constante de integração.
Passo 6
Lembrando que fizemos a substituição ln|u| + C = ln|sen^-1(x)| + C , vamos substituir de volta na expressão: