Calcule as integrais seguir, por partes:
(e) integral-2^-1 x^2 e^-2 x d x( Resposta: 14 e^2(5 e^2-1))

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida usando a técnica de integração por partes. A integração por partes é útil quando temos o produto de duas funções, como aqui, onde temos e . Para isso, precisamos identificar qual parte será e qual será .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher v = integral e^-2x , dx = -12 e^-2x porque derivar simplifica a expressão. Então, . A outra parte, , será . Agora, precisamos encontrar integrando :

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x^2 e^-2x , dx = x^2 (-12 e^-2x) - integral (-12 e^-2x) (2x) , dx
Simplificando:
= -12 x^2 e^-2x + integral x e^-2x , dx

Passo 4

Precisamos integrar integral x e^-2x , dx = x (-12 e^-2x) - integral (-12 e^-2x) , dx também por partes. Escolhemos = -12 x e^-2x + 14 e^-2x e . Então, e . Aplicando a fórmula:
Simplificando:

Passo 5

Voltando à expressão original:
integral x^2 e^-2x , dx = -12 x^2 e^-2x + (-12 x e^-2x + 14 e^-2x)
Simplificando tudo:
= -12 x^2 e^-2x - 12 x e^-2x + 14 e^-2x
Agora, aplicamos os limites de integração de [-12 x^2 e^-2x - 12 x e^-2x + 14 e^-2x]-2^-1 a :

Resposta

14 e^2(5 e^2-1)

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