Calcule as integrais seguir, por partes:
(j)
Resposta:
5
Calcule as integrais a seguir, usando frações parciais:
(a)
(Resposta:
(j)
5
Calcule as integrais a seguir, usando frações parciais:
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema pede para calcular a integral de
usando frações parciais. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente da técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar integrais de funções racionais.
Passo 2
Primeiro, precisamos fatorar o denominador
. Vamos encontrar dois números que multiplicados dão -10 e somados dão +3. Esses números são +5 e -2. Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, dividimos a fração
em duas frações parciais. Vamos supor que:
Onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Agora, vamos expandir o lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 6
Para que as duas expressões sejam iguais para todo
, os coeficientes correspondentes devem ser iguais. Então, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 7
Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
.
Passo 8
Agora que encontramos
e
, podemos escrever as frações parciais:
Passo 9
Finalmente, vamos calcular a integral de cada termo separadamente: