Calcule as integrais seguir, por partes:
(j) integral 3 x^2 e^x d x( Resposta: 3 e^x(x^2+x-1)+C)
5
Calcule as integrais a seguir, usando frações parciais:
(a) integral2 ln x-9x^2+3 x-10 d x (Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema pede para calcular a integral de usando frações parciais. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente da técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar integrais de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, precisamos fatorar o denominador x^2 + 3x - 10 = (x + 5)(x - 2) . Vamos encontrar dois números que multiplicados dão -10 e somados dão +3. Esses números são +5 e -2. Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, dividimos a fração x - 9(x + 5)(x - 2) = Ax + 5 + Bx - 2 em duas frações parciais. Vamos supor que:
Onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por x - 9 = A(x - 2) + B(x + 5) para eliminar os denominadores:

Passo 5

Agora, vamos expandir o lado direito:
x - 9 = A x - 2A + B x + 5B
Agrupando os termos semelhantes:
x - 9 = (A + B)x + (-2A + 5B)

Passo 6

Para que as duas expressões sejam iguais para todo A + B = 1 -2A + 5B = -9 , os coeficientes correspondentes devem ser iguais. Então, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação: -2(1 - B) + 5B = -9 -2 + 2B + 5B = -9 7B = -7 B = -1
Substituindo na segunda equação:
Então, .

Passo 8

Agora que encontramos x - 9(x + 5)(x - 2) = 2x + 5 - 1x - 2 e , podemos escrever as frações parciais:

Passo 9

Finalmente, vamos calcular a integral de cada termo separadamente:
integral 2x + 5 dx - integral 1x - 2 dx = 2 ln|x + 5| - ln|x - 2| + C

Resposta

integral x - 9x^2 + 3x - 10 dx = 2 ln|x + 5| - ln|x - 2| + C

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